牛客寒假基础算法训练营2（CEHIM）

官解：editoral

C

构造

基于\(D\)题的结论，设钦定子串的最左侧字符为\(A\)，最右侧字符为\(B\)：只要该子串左侧含有\(A\)，或者最右侧字符含有\(B\)，那么该子串便合法，只需要找到最长的子串即可。

还可以进一步发现：这个最长子串一定是原字符串的某个前缀或者后缀。否则，一定可以通过向某个方向延长而使解更优。

由于只需要构造一个合法串，因此钦定该子串是原字符串的前缀即可。

由于只有\(26\)个字符可供使用，可以\(guess\)一下：\(n-m\)一定不会超过\(26\)。否则由鸽巢原理，在除了钦定子串外的其他字符中，必然含有相同的字符，子串便可延长到这对相同字符的位置并使解更优。

那么构造的思路也就出来了：令\(str[n]==str[m]\),并且\(str[m到n-1]\)中不含有相同字符即可，这样保证了构造的字符串长为\(n\)，且子串最长为\(m\)（前缀）。具体构造方式可直接按照字符的字典序循环构造即可。具体见代码。

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E

思维 + ST表

对于任意询问区间\([l,r]\)，推倒 \(a_l\), 考虑使得 \(a_i\) 倒下\((l+1<=i<=r)\)，需要操作的最少次数：

\[max(0,a_i - \sum_{j=l}^{i-1}a_j) \]

最终要使得 \(a_r\) 倒下，则\(r\)前面的每一张牌都必须要倒下，即求上式的最大值：

\[\max_{i=l+1}^{r}(0,a_i - \sum_{j=l}^{i-1}a_j) \]

则问题转化为了维护区间最大值，ST表或者线段树都可以做。具体地，可以维护\(a[i]-pre[i-1]\)的区间最大值\(mx\)\((1<=i<=n)\)，求得结果再加上\(pre[l-1]\)即为\([l,r]\)上的答案。具体细节见代码。

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H

思维 + 平面几何

三点不共线时可以共圆，则三点共线时，可以看做共一个无限大的圆。因此三点越接近于共线，圆越大。

因此最优情况为：其中两个点在一条边上，第三个点在另一条边上，并且该点与两点所在边尽可能接近。

剩下的就是正弦定理：尽可能让斜边更长，同时斜边所对的钝角更大，这样外接圆的半径就更长。具体细节见官解。

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I

待补

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M

组合数学计数

首先要明确，对于任意\(1<=i<=n\)，所有\(mod 3\)剩余类对应列上的数字必须相同。即第\(1,4,7...\)列上的数字必须相同，第\(2,5,8...\)列上的数字必须相同，第\(3,6,9...\)列上的数字必须相同。证明略。

则最后得到 \(1,2,3\) 列上的三列数字，其中第\(1\)列对应\(1,4,7...\)列上所有数字的交集。

无解情况：显然每一列数字种类数不能超过\(3\)，并且每个\(3x3\)的九宫格上不能出现相同的数字。

剩下未知的数字可以做自由分配，可直接用组合数来计算（式子见官解）。这样就将每一列的数字种类分配好了，最后对每一列的未知位置全排列计算方案数即可。具体细节见官解。

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