牛客寒假基础算法训练营1（EFIKLM）

赛时\(8\)题（实际上是\(7\)题，有道题数据水而被\(fst\)了...）

E

这道题赛时做出来了，但看题解时看到了一个值得学习的重要结论。

结论：要将一个数组中的所有数变为相同的数\(x\)，操作为加\(1\)或减\(1\)，那么最小代价 \(<->\) \(x\)是中位数。

(若不知道这个结论做这个问题，可以将所有数当成若干在数轴上的点，固定点为\(x\)，则显然\(x\)从负无穷到正无穷的过程中，代价是先减后增的山谷形，这样就可以用 三分 或者 二分斜率 来解决这个问题)。

证明：由括号内容可知最小代价和最终值的二元函数呈山谷形，故这个最终值一定是唯一的。假设这个值不是\(median\)。则：

1. \(val > median\)时，数组中比\(val\)小的元素个数\(>\)比\(val\)大的元素个数（中位数的性质），前者通过加\(1\)达到\(val\)，后者通过减\(1\)达到\(val\)。则将\(val\)减少\(1\)，会使所有比\(val\)小的元素各减少一个代价，同时会使所有比\(val\)大的元素各增加一个代价。由于比\(val\)小的元素个数比\(val\)大的元素个数多，故总代价是减少的。因此最优解一定\(<val\)。
2. \(val > median\)时，与\(1\)完全类似的证明，可以证得最优解一定\(>val\)。

得证。

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F

双指针 + 前缀和技巧

要想用传统的“枚举右端点，二分左端点”的套路统计贡献，就必须要发现一些单调性。而可以发现，对于固定的右端点，左端点越偏左，子区间内包含的数的种类就会越多。而所规定的子区间恰好要满足包含种类数为\(2\)这一性质，因此可以采用这个套路。

可以用\(map\)的\(size\)函数快速获得要维护区间的数的种类数。

剩下的问题就是要判断子区间内两种数的数量是否相同。这里有个比较巧妙的\(trick\)：将原序列的数转化为\(-1\)，\(1\)的映射，这样只需要统计区间和为\(0\)的区间个数，即\(pre[l]==pre[r]\)的个数。那怎么建立这个映射呢？

可以发现，只需要顺序遍历序列，对于不同的数，\(1\)和\(-1\)交替赋值即可。由于能够保证子区间的数的种类数最多是\(2\)，进而可以保证两种不同的数会被分别赋为\(1\)和\(-1\)。具体实现见代码。

维护区间内的前缀和数组信息时要特别注意\(pre[0]\)的维护。

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I

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K

\(ST\)表区间\(gcd\) + 二分 + 查询\(trick\)

与F题做法类似：区间\(gcd\)明显具有单调性，因此可以采用“枚举右端点，二分左端点”的套路。

而还要记住区间\(gcd\)的另一个重要性质：对于一个数组的所有子数组，不同\(gcd\)的数量最多为\(O(nlogA)\)，\(A\)为数组中最大元素。

证明：对于某个特定的右端点\(r\)，考虑所有左端点\(1<=l<=r\)，所表示的\([l,r]\)区间：它们的\(gcd\)必然均为\(a[r]\)的约数。而\(a[r]\)的\(>1\)因子数量应为\(O(logA)\)级别，在左端点不断往左扩展时，\(gcd\)值减小，且是按因子个数不断减小的（相当于每次减小会除以某一个因子，这是证明该性质的关键！）因此，所有不同的\(gcd\)个数不会超过\(a[r]\)的因子的个数，即\(logA\)；对于所有的右端点均是这样，因此所有子区间的不同\(gcd\)个数约为\(nlogA\)个。

这样，对于每一个右端点统计贡献时，就可以暴力寻找每一个左端点，当然也不是纯暴力，需要利用\(ST\)表+二分来找，由上述证明知寻找次数不超过\(logA\)次。

这样，问题就转化为：已知若干 右端点固定，左端点连续 的区间\(gcd\)为\(G\)，找其中异或和也为\(G\)的区间数量。

不难想到前缀异或和来优化这件事情，即对于区间\([l,r]\)：

\(prexor[r]\) ^ \(prexor[l - 1] = G\)

由异或交换律，将\(prexor[r]\)移到左边，得：

\(prexor[l - 1] = G\) ^ \(prexor[r]\)

问题转化为求左端点\(l - 1 <= x <= r - 1\)（注意有偏移，因为求前缀和的左端点是需要偏移的），\(prexor\)值为 \(G\) ^ \(prexor[r]\)的位置\(x\)的个数。这个可以用在\(map套vector\)上二分来做到静态查询。具体见代码。

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L

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M（不会证明）

被\(fst\)的那道题。赛时猜了个结论没想到直接就过了，赛后才发现自己对这道题还缺乏很多思考。

首先有个结论：最小值是一定要乘2的。这个证明到现在还是不太会，只能靠感性理解。

知道了这个结论，就不难想到每次从最小值位置开始，暴力地向次小值位置扩展区间并更新答案。

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