Atcoder Beginner Contest 392
D - Doubles
题目大意
给定 \(N\) 个骰子，每个骰子有不同数量的面，每个面上写着一个数字。选择两个骰子，同时掷出，计算两个骰子出现相同数字的概率。目标是找到选择哪两个骰子能使这个概率最大，并输出这个最大的概率。
解题思路
注意到数据范围中有一条 \(K_1 + K_2 + \dots + K_N \leq 10^5\)。
考虑使用 unordered_map 统计每个骰子各数字出现的频率，遍历每个骰子对，计算相同数字出现的概率之和，取最大值就是答案。
核心代码
vector<unordered_map<int,int>> freq(n+1);
for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=k[i];j++){freq[i][a[i][j]]++;}
}double ans=0.0;
for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i+1;j<=n;j++){double prob = 0.0;for(auto &p:freq[i]){int num=p.first;int cnt_i=p.second;if(freq[j].count(num)){int cnt_j=freq[j][num];prob+=((double)cnt_i/k[i])*((double)cnt_j/k[j]);}}ans=max(ans,prob);}
}F - Insert
题目大意
给定一个空数组 \(A\)，依次进行 \(N\) 次插入操作。第 \(i\) 次操作将数字 \(i\) 插入到数组 \(A\) 的第 \(P_i\) 个位置（从 \(1\) 开始计数）。输出最终的数组 \(A\)。
解题思路
使用树状数组维护数组 \(A\) 的空位信息，快速找到插入位置。
对于插入操作： 每个 \(i\) 从 \(N\) 到 \(1\)，使用树状数组 findKth 操作，找到第 \(P_i\) 个空位在数组 \(A\) 中的位置 \(pos\)，将数字 \(i\) 插入到数组 \(A\) 的位置 \(pos\)，在树状数组中，将位置 \(pos\) 的值更新为 \(0\)，表示该位置已被占用。
时间复杂度为 \(O(N \times \log N)\)，空间复杂度为 \(O(N)\)。
核心代码
struct Fenwick{int n;vector<int> c;Fenwick(int n):n(n),c(n+1,0){}...int findKth(int k){ //查找第 k 个空位操作int pos=0,bit=1<<20;for(;bit;bit>>=1){int nxt=pos+bit;if(nxt<=n&&c[nxt]<k){k-=c[nxt];pos=nxt;}}return pos+1;}
};int main(){...vector<int> ans(n+1,0);Fenwick t(n);for(int i=1;i<=n;i++)t.update(i,1);for(int i=n;i>=1;i--){int pos=t.findKth(P[i]);ans[pos]=i;t.update(pos,-1);}for(int i=1;i<=n;i++)cout<<ans[i]<<" ";cout<<"\n";return 0;
}
G - Fine Triplets
题目大意
给定一个包含 \(N\) 个不同正整数的集合 \(S\)。
如果三个整数 \(A, B, C (A < B < C)\) 满足 \(B - A = C - B\)，则称 \((A, B, C)\) 为一个“好三元组”。
求集合 \(S\) 中有多少个好三元组。
解题思路
利用 FFT 加速卷积运算，快速统计。
使用 FFT 计算数组 \(f\) 与自身的卷积，得到数组 \(conv\)。数组 \(conv\) 的第 \(i\) 个元素表示集合 \(S\) 中有多少对数字 \((x, y)\) 满足 \(x + y = i\)。
遍历集合 \(S\) 中的每个元素 \(b\)。
对于每个元素 \(b\)，计算 \(2 \times b\) 的值。
如果 \(2\times b\) 小于数组 \(conv\) 的大小，则 \(conv_{2\times b}\) 表示集合 \(S\) 中有多少对数字 \((x, y)\) 满足 \(x + y = 2\times b\)。
由于 \(x\) 和 \(y\) 可以相同，因此需要减去 \(1\)（即 \(x = y = b\) 的情况）。
由于 \((x, y)\) 和 \((y, x)\) 算作同一种情况，因此需要除以 \(2\)。
每次计算完之后将结果累加到 ans 中。
时间复杂度 \(O(m \times \log m)\)
核心代码（已包含在你的代码中）
void FFT(vector<db>&a,bool invert){int n=a.size();for(int i=1,j=0;i<n;i++){int bit=n>>1;for(;j&bit;bit>>=1)j-=bit;j+=bit;if(i<j)swap(a[i],a[j]);}for(int len=2;len<=n;len<<=1){double ang=2*PI/len*(invert?-1:1);db wlen(cos(ang),sin(ang));for(int i=0;i<n;i+=len){db w=1;for(int j=0;j<len/2;j++){db u=a[i+j],v=a[i+j+len/2]*w;a[i+j]=u+v;a[i+j+len/2]=u-v;w*=wlen;}}}if(invert)for(db&x:a)x/=n;
}vector<ll> calc(vector<int>&a,vector<int>&b){vector<db> fa(a.begin(),a.end()),fb(b.begin(),b.end());int n=1;while(n<(int)(a.size()+b.size()-1))n<<=1;fa.resize(n);fb.resize(n);FFT(fa,0);FFT(fb,0);for(int i=0;i<n;i++)fa[i]*=fb[i];FFT(fa,1);vector<ll> res(n);for(int i=0;i<n;i++)res[i]=(ll)round(fa[i].real());return res;
}int main(){...int m=*max_element(s.begin(),s.end());vector<int>f(m+1,0);for(int x:s)f[x]=1;vector<ll>conv=calc(f,f);ll ans=0;for(int b:s){int idx=2*b;if(idx<conv.size())ans+=(conv[idx]-1)/2;}...
}
