Description
构造一个点数为 \(n\) 的竞赛图，满足其中三元环的个数为 \(m\)。
\(n\leq 5000\)。
Solution
首先竞赛图的三元环个数是可以根据每个点的入度/出度求的。具体地，设 \(deg_i\) 表示 \(i\) 的出度，则三元环个数为 \(\binom{n}{3}-\sum{\binom{deg_i}{2}}\)。
考虑怎么判断有无解。
注意到如果 \(deg_i+1<deg_j\)，那么让 \(deg_i\leftarrow deg_i+1,deg_j\leftarrow deg_j-1\) 一定能让三元环数最多，所以度数越均匀，三元环数就越多。所以三元环最多的情况下 \(deg_i\) 一定等于 \(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\) 或者 \(\lceil\frac{n}{2}\rceil\)，于是就能求出最多的三元环数了。
设 \(f_n\) 表示 \(n\) 个点的图三元环数量的最大值，结论是如果 \(m>f_n\) 则无解，否则有解。
构造就考虑先把初始度数设为数量最大时的情况，然后每次选择 \(deg_i=deg_j\)，让 \(deg_i\leftarrow deg_i-1,deg_j\leftarrow deg_j+1\)，会让三元环数减一。如果选不出来，就说明 \(deg=\{0,1,2,\ldots,n-1\}\)，此时三元环数为 \(0\)，不需要再调整了。
由于每次操作可以看成选两个度数相等的点，将它们之间的边取反，并且初始状态一定能构造，所以最终也可以构造出来。
现在得到了每个点的度数，构造竞赛图就考虑每次选择度数最小的点 \(i\)，向其余任意 \(deg_i\) 个点连从 \(i\) 出发的边，剩下的 \(n-1-deg_i\) 个点就连到达 \(i\) 的边，然后把 \(i\) 删掉即可。
但是 \(m\) 可能到 \(O(n^3)\) 级别，暴力调整度数会超时。注意到 \(f(n)-f(n-1)\) 为 \(O(n^2)\) 级别，所以只需要选择最小的 \(k\) 满足 \(f(k)\geq m\)，然后构造大小为 \(k\) 三元环数为 \(m\) 的图，然后对剩余的点连出一个有向无环图即可。
时间复杂度：\(O(n^2\log n)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>#define int int64_tconst int kMaxN = 5e3 + 5;int n, m;
bool g[kMaxN][kMaxN];int C(int n) { return 1ll * n * (n - 1) / 2; }int calc(int n) {if (n % 2 == 1) return 1ll * n * (n - 1) * (n - 2) / 6 - 1ll * n * C((n - 1) / 2);else {int k = (n - 1) / 2, cnt2 = C(n) - k * n, cnt1 = n - cnt2;return 1ll * n * (n - 1) * (n - 2) / 6 - (1ll * cnt1 * C(k) + 1ll * cnt2 * C(k + 1));}
}void construct(int n, int m) {static int cnt[kMaxN] = {0}, deg[kMaxN];std::fill_n(cnt, n - 1, 0);if (n % 2 == 1) {cnt[(n - 1) / 2] = n;} else {int k = (n - 1) / 2, cnt2 = C(n) - k * n, cnt1 = n - cnt2;cnt[k] = cnt1, cnt[k + 1] = cnt2;}std::priority_queue<int> q;for (int i = 1; i < n - 1; ++i)if (cnt[i] >= 2)q.emplace(i);for (int i = 1; i <= m; ++i) {int x = q.top(); q.pop();cnt[x] -= 2, ++cnt[x - 1], ++cnt[x + 1];if (cnt[x] >= 2) q.emplace(x);if (cnt[x - 1] == 2 && x - 1 >= 1) q.emplace(x - 1);if (cnt[x + 1] == 2 && x + 1 < n - 1) q.emplace(x + 1);}int c = 0;static int tmp[kMaxN];for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = 1; j <= cnt[i]; ++j)deg[++c] = i, tmp[c] = i;}// std::cerr << n << ' ' << m << " : ";// for (int i = 1; i <= n; ++i) std::cerr << deg[i] << " \n"[i == n];for (int i = 1; i <= n; ++i) {std::vector<int> vec;assert(i + deg[i] <= n);// std::cerr << i << ' ' << deg[i] << '\n';for (int j = i + 1; j <= n; ++j) vec.emplace_back(j);std::sort(vec.begin(), vec.end(), [&] (int x, int y) { return deg[x] < deg[y]; });for (int j = 0; j < vec.size(); ++j) {int x = vec[j];if (j < deg[i]) g[i][x] = 1;else g[x][i] = 1, --deg[x];}}// for (int i = 1; i <= n; ++i) {// assert(std::count(g[i] + 1, g[i] + 1 + n, 1) == tmp[i]);// }
}void dickdreamer() {std::cin >> n >> m;if (calc(n) < m) return void(std::cout << "No\n");for (int i = 1; i <= n; ++i)std::fill_n(g[i] + 1, n, 0);for (int k = 0; k <= n; ++k) {if (calc(k) >= m) {construct(k, calc(k) - m);for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = std::max(i + 1, k + 1); j <= n; ++j)g[i][j] = 1;break;}}std::cout << "Yes\n";// int sum = 1ll * n * (n - 1) * (n - 2) / 6;// for (int i = 1; i <= n; ++i) sum -= C(std::count(g[i] + 1, g[i] + 1 + n, 1));// std::cerr << sum << '\n';// for (int i = 1; i <= n; ++i, std::cerr << '\n')// for (int j = 1; j <= n; ++j)// std::cerr << g[i][j];for (int i = 2; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j < i; ++j)std::cout << g[i][j];std::cout << '\n';}
}int32_t main() {
#ifdef ORZXKRfreopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifstd::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);int T = 1;std::cin >> T;while (T--) dickdreamer();// std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";return 0;
}
