Chapter 1
Problem 3. \(n\) 的有序分划是使得 \(\sum m_i = n, m_i \ge 1\) 的 \((m_i)\). 求证: \(n\) 的所有有序分划的总元素个数为 \((n+1)2^{n-2}\).
Generative Function Proof. 考虑到答案为:
\[[X^n] \sum_{k \ge 0} k \left(\dfrac X{1-X}\right)^k = [X^n] \dfrac{(1-X)X}{(1-2X)^2} = [X^{n-1}] \dfrac 1{(1-2X)^2} - [X^{n-2}] \dfrac 1{(1-2X)^2},
\]
而
\[[X^n] \dfrac{1}{(1-2X)^2} = \sum_{a+b=n} 2^a 2^b = (n+1)2^n,
\]
带入即得.
Bijective Proof. 容易构造分划到 \(2^{n-1}\) 的双射 (前缀和). 这样, \(2^{n-1}\) 中的每一个元素 \(x\) 均在 \(2^{n-2}\) 个集合中出现. 而注意到一个大小为 \(m\) 的集合对应一个大小为 \(m+1\) 的分划, 因此
\[\mathrm{ans} = 2^{n-2} (n-1) + 2^{n-1} = (n+1) 2^{n-2}.
\]
关键词: 拆贡献, 利用前文结论.
Problem 4. 求证: \(n\) 的有序分划中, 满足有偶数个元素是偶数的分划个数为 \(2^{n-2}\).
Generative Function Proof. 考虑到答案为
\[[X^n] \dfrac 1{1-X /(1-X^2)} \cdot \sum_{k \ge 0} \left(\dfrac 1{1-X^2}\right)^{2k} =
\]
Bijective Proof. 只需证明奇数个元素是偶数的分划和偶数个元素是偶数的分划形成双射. 设分划为 \(P_0 = (P, x, 1, \dots, 1)\), 则给出 \(P' = (P, x - 1, 1, 1, \dots, 1)\).
