考虑观察最优解的一些性质：
性质 1：一个非叶子节点的入度和出度非 0。
证明：显然把任意一条邻边翻转之后会更优。
性质 2：若 \(x\) 可达 \(y\)，则 \(out_x>1\) 和 \(in_y>1\) 不会同时成立。
证明：
如图，设能到 \(x\) 的点数为 \(A\)，\(x\) 能到达的点数为 \(B\)（不走 \(x\rightsquigarrow y\) 路径上 \(x\) 的出边）；能到 \(y\) 的点数为 \(C\)（不走 \(x\rightsquigarrow y\) 路径上 \(y\) 的入边），\(y\) 能到的点数为 \(D\)。
假设翻转所有 \(x\) 的出边及他们子树内的边（不含 \(x\rightsquigarrow y\) 路径上 \(x\) 的出边），即 \(A\leftarrow A+B,B\leftarrow 0\)，答案会增加 \(B(D+v_1-A)\)。
假设翻转所有 \(y\) 的入边及他们子树内的边（不含 \(x\rightsquigarrow y\) 路径上 \(y\) 的入边），即 \(D\leftarrow D+C,C\leftarrow 0\)，答案会增加 \(C(A+v_2-D)\)。
其中 \(v_1\ge w_y \ge 1,v_2\ge w_x \ge 1\)。由于此时是最优解，则需满足 \(B(D+v_1-A) \le 0\) 且 \(C(A+v_2-D)\le 0\)。
显然 \(D-A<0\) 和 \(A-D<0\) 不能同时满足，则必然满足 \(B=0\) 或 \(C=0\)，即 \(out_x=1\) 或 \(in_y=1\)。
性质 3：若 \(in_x>1\)，则考虑所有入边 \((y,x)\)，把这条边断开后 \(y\) 所在连通块的所有点均可以到达 \(x\)。（\(out_x\) 同理）
证明：根据 性质 2，所有 \(y\) 的出度均为 \(1\)。归纳可证。
那么首先找到一个 \(deg_x>2\) 的点 \(x\)。若不存在这样的点，说明原图是一条链，显然顺着定向可取得理论最大值（两两可达）。
若 \(in_x\) 和 \(out_x\) 均 \(>1\)，根据性质 3，直接得证。
否则不妨设 \(out_x=1\)，因为 \(deg_x>2\)，所以 \(in_x\) 必然 \(>1\)。只需证明 \(x\) 能到达出边子树里的所有点。
考虑归纳。设 \(x\) 的出边是 \((x,y)\)，若 \(deg_y=1\)，成立；若 \(deg_y=2\)，根据 性质 1，\(y\) 的另一条必然是出边，归纳证明 \((y,y')\)。
否则 \(deg_y>2\)。若 \(in_y=1\)，即只有一条 \((x,y)\) 的入边，那么 \(out_y>1\)，假设成立；
若 \(in_y\) 和 \(out_y\) 均 \(>1\)，仍然直接成立；
否则 \(out_y=1\)，还是继续归纳到 \((y,y')\)。
由于图无环，所以归纳可以在有限步内完成，故得证。
