LGP1377 [TJTS 2011] 树的序 学习笔记

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题意简述

给一个生成序列 \(p\)，简单起见 \(p\) 是一个长为 \(n\) 的排列。按照这样的步骤生成一棵二叉搜索树：

1. 往空树中插入 \(p_i\)，则 \(p_i\) 成为当前二叉搜索树的根。
2. 往非空树 \(u\) 中插入 \(p_i\)，若 \(p_i\) 小于 \(u\) 则往左子树走，否则往右子树走。

求出字典序最小的生成序列 \(p'\)，使得其可以得到与 \(p\) 相同的序列。

做法简述

思考我们怎么变换 \(p\) 可以生成出一样的BST。
发现在最终生成的树中，父亲一定要早于儿子插入，儿子之间顺序可以互换，左儿子早插入更优。
我们把“早晚关系”转化为时间戳的早晚关系。也就是说满足 \(\text{tim}_u<\text{tim}_{ls_u}<\text{tim}_{rs_u}\) 的 \(p'\) 是最优的。
实际上，\(p'\) 正等价于把 \(p\) 生成的BST前序遍历的结果。

现在的目标变为建出 \(p\) 生成的树。朴素做最坏是 \(O(N^2)\) 的，怎么加速呢？

实际上，上述时间戳的早晚关系等价于堆的性质。又因为生成树的值又满足BST性质，所以其可以看作一棵以时间戳为值，\(p_i\) 为键的笛卡尔树。所以我们建完树再跑先序遍历就行了！

代码实现

注意不是 dfs(1) 而是 dfs(P[1])！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace obasic{template <typename _T>void readi(_T &x){_T k=1;x=0;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')k=-1;for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';x*=k;return;}template <typename _T>void writi(_T x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x>9)writi(x/10);putchar(x%10+'0');}
};
using namespace obasic;
const int MaxN=1e5+5;
int N,P[MaxN],W[MaxN];
int stk[MaxN],ktp,ls[MaxN],rs[MaxN];
void dfs(int u){printf("%d ",u);if(ls[u])dfs(ls[u]);if(rs[u])dfs(rs[u]);
}
int main(){readi(N);for(int i=1;i<=N;i++)readi(P[i]),W[P[i]]=i;for(int i=1;i<=N;i++){int k=ktp;while(k&&W[stk[k]]>W[i])k--;if(k)rs[stk[k]]=i;if(k<ktp)ls[i]=stk[k+1];stk[++k]=i,ktp=k;}dfs(P[1]);return 0;
}

反思总结

“早晚关系”抽象为时间戳大小关系。