LGP11261 [COTS 2018] 直方图学习笔记-编程知识

LGP11261 [COTS 2018] 直方图学习笔记

news/2025/2/24 3:25:39/文章来源:https://www.cnblogs.com/OrinLoong/p/18718384

LGP11261 [COTS 2018] 直方图学习笔记

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前言

参考了这篇题解。算是对其更详细的一个解释。

题意简述

给定一宽为 \(n\) 的直方图，第 \(i\) 格的高度为 \(h_i\)。也就是说，对于 \(\forall 1\le i\le n\)，第 \(i\) 格矩形的四个顶点分别为 \((i-1,0),(i,0),(i-1,h_i),(i,h_i)\)。

pEKIR3j.md.png

给定正整数 \(p\)，求出满足以下条件的网格矩形的数量：

有一条边在 \(x\) 轴上。
完全位于直方图内部。
面积至少为 \(p\)。

做法解析

首先想一想当一个矩形面积至少为 \(p\) 时意味着什么——\(ab>p\)。换句话说，当我们确定了矩形的高 \(b\) 的时候，我们就随之确定了 \(a\ge \lceil \frac{p}{b} \rceil\)。

我们发现，当矩形的 \(lx,rx\) 确定之后，限制 \(ry\) 范围的正是 \(\min_{i=lx}^{rx} h_i\)。此时套路来了：我们以 \(i\) 为键，\(h_i\) 为值建一棵小根笛卡尔树，并考虑横跨每个最小值的贡献。具体来说我们对这棵笛卡尔树做一遍 \(dfs\)，每搜到一个结点 \((i,h_i)\)，我们就统计所有 \(lc\le lx\le i,i\le rx\le rc\) 的合法矩形的数量，其中 \(lc,rc\) 分别为当前结点子树里横坐标的最小值和最大值。这么做的道理在于可以不重不漏地计数。

pEKIWgs.md.png

令当前结点 \(u\) 的左子树大小为 \(L\)，右子树大小为 \(R\)（实际上，\(L=u-lc,R=rc-u\)）。现在问题变成了计算所有结点的 \(\sum_{i=0}^L\sum_{j=0}^{R} \max(h_u-\lceil\frac{p}{i+j+1}\rceil+1,0)\)，其中的 \(\lceil\frac{p}{i+j+1}\rceil\) 代表着 \(i,j\) 确定后合法矩形高度的最小值，\(h_u-\lceil\frac{p}{i+j+1}\rceil+1\) 则自然是 \(i,j\) 确定后合法高度的种类。

pEKIfvn.md.png

考虑枚举较小的那一侧子树的 \(i\)（这里是启发式合并思想，保证复杂度 \(O(N\log N)\)）。不妨设 \(L<R\)，问题变为如何快速计算 \(\sum_{i=0}^{L}\sum_{k=i+1}^{i+R+1}\max(h_u-\lceil\frac{p}{k}\rceil+1,0)\)。
显然最小的满足 \(h_u-\lceil\frac{p}{k}\rceil\ge 0\) 的 \(k\) 就是 \(\lceil\frac{p}{h_u}\rceil\)，
所以上式等价于算 \(\sum_{i=0}^{L}\sum_{k=\max(i+1,\lceil\frac{p}{h_u}\rceil)}^{i+R+1} h_u-\lceil\frac{p}{k}\rceil+1\)，
也即等价于 \(\sum_{i=0}^L (i+R+1-\max(i+1,\lceil\frac{p}{h_u}\rceil))\times h_u-\sum_{k=\max(i+1,\lceil\frac{p}{h_u}\rceil)}^{i+R+1} \lceil \frac{p}{i} \rceil\)。
注意到我们减去的那玩意就是个 \(\lceil \frac{p}{i} \rceil\) 的前缀和，预处理之即可。这道题就做完了！

时间复杂度 \(O(N\log N)\)。

代码实现

代码很简单!

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace obasic{typedef long long lolo;template <typename _T>void readi(_T &x){_T k=1;x=0;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')k=-1;for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';x*=k;return;}template <typename _T>void writi(_T x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x>9)writi(x/10);putchar(x%10+'0');}template <typename _T>void maxxer(_T &x,_T y){x=max(x,y);}template <typename _T>_T pcedi(_T x,_T y){return (x-1)/y+1;}
};
using namespace obasic;
const int MaxN=1e5+5;
int N,H[MaxN],stk[MaxN],ktp;
int ls[MaxN],rs[MaxN];lolo P,pre[MaxN],ans;
lolo calc(lolo l,lolo r,lolo h){maxxer(l,pcedi(P,h));if(l>r)return 0;return 1ll*(h+1)*(r-l+1)-(pre[r]-pre[l-1]);
}
lolo solve(int u,int cl,int cr){lolo res=0;int lsiz=u-cl,rsiz=cr-u;if(lsiz>rsiz)swap(lsiz,rsiz);lsiz++;for(int i=1;i<=lsiz;i++)res+=calc(i,i+rsiz,H[u]);if(ls[u])res+=solve(ls[u],cl,u-1);if(rs[u])res+=solve(rs[u],u+1,cr);return res;
}
signed main(){readi(N),readi(P);for(int i=1;i<=N;i++)pre[i]=pre[i-1]+pcedi(P,(lolo)i);for(int i=1;i<=N;i++)readi(H[i]);for(int i=1;i<=N;i++){int k=ktp;while(k&&H[stk[k]]>H[i])k--;if(k)rs[stk[k]]=i;if(k<ktp)ls[i]=stk[k+1];stk[++k]=i,ktp=k;}ans=solve(stk[1],1,N);writi(ans);return 0;
}