向量的一般分解证明

• 证明向量u可以分解为任意两个向量α、向量β。即：u = s*α + t*β
  • $\begin{aligned}&. 结论：行列式D= \begin{pmatrix} a \ \ b \\ c \ \ d \end{pmatrix} \textcolor{red}{不为零}时才能被分解 \\ & 证明 : 设向量\vec{V}，当行列式D=(ad-bc)不为零时，才存在实数s、t，使得\vec{V} = s*\vec{v_1} + t*\vec{v_2}成立 \\ \end{aligned} $
    $ \begin{aligned}\ \ \ 证： \\ \ \ \ \ \ \ \vec{V} &= s*\vec{v_1} + t*\vec{v_2} \\ \ \ \ \ \ \ \vec{V} \times (\vec{v_1}) &= (s*\vec{v_1} + t*\vec{v_2}) \times (\vec{v_1}) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & ① 两边同时叉乘\vec{v_1} \\ \ \ \ \ \ \ &= [(s*\vec{v_1}) \times \vec{v_1}] + [(t*\vec{v_2}) \times \vec{v_1}] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & ② \textcolor{red}{分配律}\\ \ \ \ \ \ \ &= \textcolor{green}{0} + [(t*\vec{v_2}) \times \vec{v_1}] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & ③ \textcolor{green}{前半部分为0}:自己叉乘自己，平行四边形面积为零\\ \ \ \ \ \ \ &= 0 + \textcolor{red}{[t*(\vec{v_2}\times \vec{v_1})]} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & ④ \textcolor{red}{后半部分括号交换}:带入公式叉乘=平行四边形面积=\vec{v_1}*\vec{v_2}*sinθ发现是对的\\ \ \ \ \ \ \ \frac{\vec{V} \times (\vec{v_1}) }{(\vec{v_2}\times \vec{v_1})} &= t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & ⑤ 移项 \\ \ \ \ \ \ \ t &= \frac{\vec{V} \times (\vec{v_1}) }{ \textcolor{red}{(\vec{v_2}\times \vec{v_1})}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & ⑥ 上述步骤消去s，得出t受到\textcolor{red}{分母不为零}影响 \\ & & 分母是\vec{v_2} 叉乘 \vec{v_1}，也就是说平行四边形\textcolor{red}{面积不为零}才成立 \\ & & 分母是\vec{v_2} 叉乘 \vec{v_1}，也就是说行列式D\textcolor{red}{ \begin{pmatrix} a \ b \\ c \ d \end{pmatrix} } = (ad-bc) 不为零才成立 \\ & & 分母是\vec{v_2} 叉乘 \vec{v_1}，也就是说\vec{v_2}、\vec{v_1}\textcolor{red}{不在同一直线}才成立\end{aligned} $
• 叉乘相关
  • 叉乘几何意义是平行四边形面积
  • 行列式D是一个数，二维时是平行四边形面积，三维时是体积，四维时是....