本人初三，下面介绍的是一种自己想出来的方法，内容原创，不知道有没有已经成为前人的智慧。
作为一个 OIer，一些证明的过程不会很严谨，请见谅。
描述
对于一个给定的函数 \(f(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+\dots +a_nx^n\)，求 \(l\le x\le r\) 时，函数 \(f(x)\) 与 \(x\) 轴所夹的面积。
注意这里认为面积有正负性，即在 \(x\) 轴上方，函数 \(f(x)\) 下方的面积为正，\(x\) 轴下方，函数 \(f(x)\) 上方的面积为负。
分解
首先先将 \(f(x)\) 拆成 \(g_0(x)+g_1(x)+g_2(x)+\dots+g_n(x)\)，其中 \(g_i(x)=a_ix^i\)。
那么 \(f(x)\) 下的面积也可以拆成 \(g_0(x),g_1(x),g_2(x),\dots,g_n(x)\) 下的面积之和。
于是我们只要能求每个 \(g_i(x)\) 下的面积即可。
不妨设 \(l\ge 0\)（\(l<0\) 时同理），在 \(l\le x\le r\) 这段区间的面积可以用 \(0\le r\) 部分的面积减去 \(0\le x\le l\) 部分的面积得到，于是我们只需解决 \(0\le x\le r\) 的问题即可。
构造模型
现在我们只需解决这么一个问题：
- 有函数 \(f(x)=x^k\)，求 \(0\le x\le r\) 时 \(f(x)\) 下的面积。
考虑当 \(x=a\) 时，\(f(x)=a^k\)，这相当于一个边长为 \(a\) 的 \(k\) 维立方体的体积，设 \(k\) 维的坐标表示为 \((x_0,x_1,x_2,\dots,x_{k-1})\)，那么这个立方体可以表示为 \(0\le x_0\le a,0\le x_1\le a,0\le x_2\le a,\dots,0\le x_{k-1}\le a\)。
那么对于 \(0\le x\le r\) 这段区间的这些立方体之和可以表示为一个 \(k+1\) 维的锥形体 \(0\le x_0\le r,0\le x_1\le x_0,0\le x_2\le x_0,\dots 0\le x_k\le x_0\)。
那么这个锥形体的体积就是上述提到的 \(f(x)\) 下的面积。
求答案
可以构造出 \(k+1\) 个等价的锥形体（为了方便书写，以下默认 \(x_i\ge 0\)）：
- \(x_0\le r,x_1\le x_0,x_2\le x_0,\dots,x_k\le x_0\)
- \(x_1\le r,x_0< x_1,x_2\le x_1,\dots,x_k\le x_1\)
- \(x_2\le r,x_0<x_2,x_1<x_2,\dots,x_k\le x_2\)
- \(\dots\)
- \(x_k\le r,x_0<x_k,x_1<x_k,\dots,x_{k-1}<x_k\)
虽然上述几个锥形体中小于号取等的情况并不相同，但是实际上是一样的，因为两个数取等时这个图形是降维的，它在 \(k+1\) 维下的体积为 \(0\)。
于是上述 \(k+1\) 个图形可以拼成高维立方体 \(x_0\le r,x_1\le r,x_2\le r,\dots,x_k\le r\)，那么这 \(k+1\) 个锥形体的体积总和是 \(r^{k+1}\)，那么一个锥形体的体积就是 \(\frac{r^{k+1}}{k+1}\)。
即，\(0\le x\le r\) 时，\(f(x)=x^k\) 下的面积为 \(\frac{r^{k+1}}{k+1}\)。
证明
接下来证明上述 \(k+1\) 个锥形体和最后那个立方体是相同的：
证明：锥形体中的点都在立方体中
对于任意锥形体，它被表示为 \(x_{max}\le r,x_0<x_{max},x_1<x_{max},\dots,x_k\le x_{max}\) 的形式，那么对于其中每一个点 \((x_0,x_1,x_2,\dots,x_k)\)，这几个坐标中的最大值小于等于 \(r\)，那么每一维都小于等于 \(r\)，那么这个点一定在立方体中。
证明：立方体中的点都在锥形体中
对于立方体中任意一个点 \((x_0,x_1,x_2,\dots,x_k)\)，取出其中的最大值 \(x_{max}\)（若有多个选择下标最小的一个），那么这个点一定在锥形体 \(x_{max}\le r,x_0<x_{max},x_1<x_{max},\dots,x_k\le x_{max}\) 中。
至此，证毕。
结论
对于函数 \(f(x)=x^k\)，在 \(0\le x\le r\) 内，\(f(x)\) 下的面积为 \(\frac{r^{k+1}}{k+1}\)。
对于函数 \(f(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+\dots+a_nx^n\)，在 \(l\le x\le r\) 内，\(f(x)\) 下的面积为 \(\sum_{i=0}^n a_i(\frac{r^{i+1}}{i+1}-\frac{l^{i+1}}{i+1})\)。
