总结：高斯消元

高斯消元

\(O(n^2m)\) 求解 \(n\) 元线性方程组 + 判断解的情况（可以是模意义下）
\(O(\frac{n^2m}{w})\) 求解 \(n\) 元异或方程组 + 判断解的情况

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求解有唯一解的 \(n\) 元线性方程组

高斯消元基础

#1：高斯消元法

这里总结一下，对于一个有唯一解的增广矩阵，高斯消元分 5 步：

1. 找主元
2. 将当前行的方程主元系数化为一
3. 将当前行以下的方程消去主元
4. 如果还有别的主元，回到 1
5. 对于消完的上三角矩阵一行行回带

版子：

inline void gauss()
{int i, j, k;double div;for (k = 1; k <= n; k ++){//1. 找主元int mi = k;for (i = k + 1; i <= n; i ++)if (fabs(g[i][k]) > fabs(g[mi][k]))mi = i;swap(g[mi], g[k]);//2. 将**当前行**的方程主元系数化为一div = g[k][k];for (j = k; j <= n + 1; j ++)g[k][j] /= div;//3. 将**当前行以下**的方程消去主元for (i = k + 1; i <= n; i ++){div = g[i][k];for (j = k; j <= n + 1; j ++)g[i][j] -= g[k][j] * div;}//4. 如果还有别的主元，回到 1}//5. 对于消完的上三角矩阵一行行回带for (k = n; k >= 1; k --){a[k] = g[k][n + 1];for (j = k + 1; j <= n; j ++)a[k] -= g[k][j] * a[j];}
}   

#2：高斯-约旦消元法

注意到高斯消元法只将当前行以下的方程消去主元，这使得最后消完为一个上三角矩阵，导致还要一行行回带

如果这里我们直接将除了当前行以外的所有行都消去主元，最后的结果为一溜斜着的 1，可以省去回带

总结一下即分 4 步：

1. 找主元
2. 将当前行的方程主元系数化为一
3. 将除当前行以外的方程消去主元
4. 如果还有别的主元，回到 1

版子：

inline void gauss_jordan()
{int i, j, k;double div;for (k = 1; k <= n; k ++){//1. 找主元int mi = k;for (i = k + 1; i <= n; i ++)if (fabs(g[i][k]) > fabs(g[mi][k]))mi = i;swap(g[k], g[mi]);//2. 将**当前行**的方程主元系数化为一div = g[k][k];for (j = 1; j <= n + 1; j ++)g[k][j] /= div;//3. 将**除当前行以外**的方程消去主元for (i = 1; i <= n; i ++){if (i == k)continue;div = g[i][k];for (int j = 1; j <= n + 1; j ++)g[i][j] -= g[k][j] * div;}//4. 如果还有别的主元，回到 1}//无需回带for (i = 1; i <= n; i ++)a[i] = g[i][n + 1];
}

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求解不保证有唯一解的 \(n\) 元线性方程组

这里探讨一下什么情况会出现无解和有无数解：

• 无解：解着解着发现形如 \(0=4\) 的神秘东西
• 无数解：方程给的太少或消成了 \(0=0\) 的东西

做法：

高斯消元法与高斯-约旦消元法是一样的

如果出现上述任意情况会在某一列找不到主元，就去下一列找。

同时维护一个变量 \(c\) 为待消去的主元编号，即整个过程进行完后 \(c\sim n\) 的方程未知数系数全为 0；

if (g[mi][k] == 0)continue;
swap(g[c], g[mi]);/*
和模版一样
*/c ++;

最后根据是 \(0=0\) 的情况还是 \(0=?\) 的情况判断有无解

if (c <= n)
{for (; c <= n; c ++)if (g[c][n + 1] != 0){printf("No Solution\n");exit(0);}printf("Infinity Solution\n");exit(0);
}

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求解方程数量不保证等于未知数数量的 \(n\) 元线性方程组。

设方程数量为 \(m\)，则无论是高斯消元法还是高斯-约旦消元法的做法都一样

记得改变一些枚举变量的上界，并在判断解的情况时注意分讨即可

if (c <= max(n, m))
{for (; c <= m; c ++)if (g[c][n + 1] != 0){printf("No Solution\n");exit(0);}if (c <= n){printf("Infinity Solution\n");exit(0);}
}

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求解模 \(p\) 意义下的 \(n\) 元线性方程组

\(p\) 为质数

这种情况下可以直接除法改逆元，做就好了

\(p\) 为合数

做除法时暴力对被除数加 \(p\) 知道能整除为止，这个过程的复杂度没有保证，一般这种题出题人会有说明

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例题：

P3389 【模板】高斯消元法
P2455 [SDOI2006] 线性方程组

求解不保证有唯一解的 \(n\) 元线性方程组

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求解模 \(p\) 意义下方程数量不保证等于未知数数量的 \(n\) 元线性方程组