Bresenham’s line drawing（布雷森汉姆算法）
进行games101的光栅化作业时，对其渲染原理仍不甚了解，找到tinyrenderer软光栅项目。在此记录下试错的过程。
作者在最初为我们做好了framebuffer,读者入手的方向实际是从渲染的过程开始。对于如何渲染出像素显示在画面上，应该需要从其他博主那进行学习，或者从作者实现的文件中分析，这里就不做多余的解释。
友情提示:这里记录个人对tinyrenderer原理的理解，若需源代码请从原作者的github处下载。（作者的博客内蓝色高光处包含了不同阶段源代码的地址）
github地址在这里：https://ssloy.github.io/tinyrenderer
作者第一节从线的绘制开始，一个三角面有三个顶点，即绘制三条直线。
Bresenham’s line drawing（布雷森汉姆算法）
给出两个顶点a(ax,ay),b(bx,by),渲染出两点间的直线。
按照作者的说法，直接抛出算法会很难以理解，采取渐进的形式，逐渐演化算法的执行。
假设参数t \(\in\)[0,1],定义二维点(x(t),y(t))如下：
x(t) = ax + t * (bx - ax)
y(t) = ay + t * (by - by)
对于该公式的推导
可以想象直线上两点，在两点间再取一点(x(t),y(t))，(这里设为（x,y）或许更好一些，但是图画好了懒得改了)很容易可以想到它们间存在的相似三角形，
(y(t) - ay) / (by - ay) = tt为0时，y(t) = ay，t为1时，y(t) = by。
之后，简单推导即可得到参数方程，x(t)同理可得。
代码实现
void line(int ax,int ay,int bx,int by, TGAImage &framebuffer,TGAColor color){for(float t = 0; t < 1; t += 0.02){int x = ax + std::round(t * (bx - ax));int y = ay + std::round(t * (by - ay));framebuffer.set(x,y,color);}
}
可以注意到红线部分存在四个缺口,仔细观察一下可以发现
t的取值为0-1，每0.02取值进行运算，可取51次
cx - ax = 62 - 7 = 55 次
其gap = 55 - 1 = 4
t的取值不足导致了gap的出现：
一个直接的解决方法是：
可以将 t += .02改为 t += .01，这样确实可以解决当前的gap问题，但当cx - ax的差值更大时，t的取值仍然会不足；作者给出的方法则是使用t的定义式，而不是直接赋值：
t = (x(t) - ax) / (bx - ax) 或者 t = (y(t) - ay) / (by - ay)对于t定义式可行的个人见解
每一个(x(t),y(t))坐标表示一个像素点位置，两点间横坐标差值即缺少的横向像素点的数量，纵坐标同理，这样即可遍历每一个单位像素点的横坐标，得到对应的t值，从而求得相应的纵坐标。
函数实现
void line(int ax,int ay,int bx,int by, TGAImage &framebuffer,TGAColor color){for(int x = ax; x <= bx; x ++){//t需要float型，故须使用static_cast<float>来使计算返回浮点值float t = (x - ax) / static_cast <float> (bx - ax);int y = ay + std::round(t * (by - ay));framebuffer.set(x,y,color);}
}
好了，现在我们出现两个问题，黄线出现了大量gap,红线消失：
红线消失很好发现原因，在for循环中,若bx < ax,循环会被打破，也就不会有线产生。
在bx < ax时，我们交换两点的位置即可。
if(bx < ax){std::swap(ax,bx);std::swap(ay,by);
}
绿线的问题，观察下图的白框和黄点可以看出
由于取整的问题，一个单位横坐标跨越了多个单位纵坐标。也就是说一个纵坐标可以对应着不到一个单位的横坐标，取整后可以做到连续的纵坐标对应着同一个横坐标，这样就避免了gap的出现：
bool steep = std::abs(bx - ax) < std::abs(by - ay);
if(steep){std::swap(ax,ay);std::swap(bx,by);
}//在绘制直线时，须判断steep，换回x,y位置
if(steep)framebuffer.set(y,x,color)
elseframebuffer.set(x,y,color);
绘制成功！
接下来是性能上的优化，逐渐的接近布雷森汉姆算法
既然要优化性能，需要先了解花费性能较高的部分，首先是framebuffer.set()的调用，可惜我们此次不涉及该函数的设计，不考虑。其次就是y值的计算：
可以将t(x)式带入y(t)可得
y(x) = ay + (by - ay) * (x(t) - ax) / (bx - ax)
这样我们在代码上可以进一步处理：
我们知道，在for循环中，x(t)的值从ax开始，每次增加1，
所以（x(t) - ax）的值则为0，1，2，……；
y(i + 1) - y(i) = (by - ay) / (bx - ax)
在该值为0时，上式子中y(ax) = ay;
在这种条件下，y(x)的代码可转化为:
//此处y由int改为float
//每次循环y增值(by - ay) /static_cast (bx - ax)，该数为float，多次增加后其值对y的影响会越来越大，将y改为float,可以避免误差的发生
float y = ay;
for(int x = ax; x <= bx; x ++){if(steep)framebuffer.set(y,x,color);elseframebuffer.set(x,y,color);y += (by - ay) /static_cast <float> (bx - ax);
}
避免浮点运算可以为我们提升很大的性能，布雷森汉姆算法即使如此。
我们将y由float改为int：
易知，增值(by - ay) /static_cast <float> (bx - ax)不会大于一，自动由float转为int时，会丢弃小数位，不进行四舍五入，这意味着y值将不会发生改变；
我们通过引入变量 float error = 0;每次循环error增值(by - ay) /static_cast
超过+-0.5，便为y+-1，error +-1;
实现代码
//此处改为使用std::abs来使得每次error的增值为正，以省去判断正负的问题。
float error = 0;
int y = ay;
for(int x = ax; x < bx; x ++){if(steep)framebuffer.set(y,x,color);elseframebuffer.set(x,y,color);error += std::abs(by - ay) / static_cast <float> (bx - ax);if(error > .5){y += by > ay ? 1 : -1;error -= 1;}
}
我在这里进行进一步的演算，以便可以更清晰的消除浮点运算（error由float转为int）：
//这里的表现形式不太合规，但应该可以理解
[error += std::abs(by - ay)] / static_cast <float> (bx - ax) > 0.5
两边同乘static_cast <float> (bx - ax)
[error += std::abs(by - ay)] > 0.5 * static_cast <float> (bx - ax)
此时，不可变的浮点数仅有0.5，那么我们两边同乘2
[error += 2 * std::abs(by - ay)] > (bx - ax)
代码实现
int ierror = 0;
int y = ay;
for(int x = ax; x < bx; x ++){if(steep)framebuffer.set(y,x,color);elseframebuffer.set(x,y,color);ierror += 2 * std::abs(by - ay);if(ierror > (bx - ax)){y += by > ay ? 1 : -1;ierror -= 2 * (bx - ax);}
}
从作者的测试结果来看，布雷森汉姆算法的实际速度要慢于第一次的优化，原因则是现在的整数运算并不总是比浮点运算更高效。
至于无分支结构的优化，可以在作者的博客中进行了解，我实际进行的测试中，作者的无分支形式实际要花费更多的性能，可能是现在的CPU的对分支版本的优化更加高效，不充分的无分支形式无法在其中获得优势
