离散数学
关系的性质
自反性与反自反性
Definition
设 R 是集合 A 上的关系.
1 如果对任意的 x ∈ A, 都有 < x, x >∈R, 那么称 R 在 A 上是自反的(reflexive), 或称R 具有自反性(reflexivity);
2 如果对任意的 x ∈ A, 都有 < x,x >∈ R, 那么称 R 在 A 上是反自反的(antireflexive),或称 R 具有反自反性(antireflexivity);
Example
同姓关系, 小于等于关系, 包含关系, 整除关系都是自反的关系;
父子关系, 小于关系, 真包含关系都是反自反的关系
对称性与反对称性
Definition
设 R 是集合 A 上的关系.
1 如果对任意的 x, y ∈ A, 如果 < x, y >∈ R, 那么 < y, x >∈ R, 则称 R 是对称的(symmetric), 或称 R 具有对称性(symmetry);
2 如果对任意的 x**, y ∈ A, 如果 < x, y >∈ R 且 < y, x >∈ R，那么 x = y, 则称 R 是反对称的(antisymmetric), 或称 R 具有反对称性(antisymmetry);
Example
同姓关系, 朋友关系, 同余关系都是对称的关系;
父子关系, 小于等于关系, 包含关系, 整除关系都是反对称的关系
传递性
Definition
设 R 是集合 A 上的关系. 对任意的 x**, y**, z ∈ A, 如果 < x**, y >**∈ R 且 < y, z >∈ R, 那么< x, z >∈ R, 则称 R 是传递的(transitive), 或称 R 具有传递性(transitivity);
Example
同姓关系, 小于关系, 包含关系, 整除关系, 飞机航线的可达关系都是传递的关系;
父子关系, 朋友关系, 婚姻关系, 飞机航线的直达关系都不是传递的关系.
百词斩
