其实干货很少，就是写完题之后有感而发的，当题解差不多（本人是初一蒟蒻，内容可能不严谨，请见谅...）。
前置芝士
杨辉三角
以下是部分的杨辉三角：
| 行/列 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | |||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
若 \(t[i][j]\) 表示杨辉三角第 \(i\) 行，第 \(j\) 列的数，容易发现 \(t[i][j] = t[i-1][j] + t[i-1][j-1]\) （当 \(j = 0\) 或 \(j = i\) 时，\(t[i][j] = 1\)）。
若 \(f(k)\) 表示杨辉三角中第 \(k\) 行数的总和，即 \(f(x) = \sum_{i=0}^{k} C_{k}^{i}\)，观察得知 \(f(x) = 2^k\)，接下来用二项式定理来说明。
二项式定理
二项式定理（英语：binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理 。—— 百度百科
二项式定理可以把 \((x + y) ^ n\) 展开成和的形式，推导过程bdfs不再赘述。
定理内容：对于任意正整数 \(n\) ，有 \((a + b)^n=\sum_{i = 0}^{n}C_{n}^{i}a^{n - i}b^{i}\)。
（\(OI \neq MO\) 对我来说，这就行了）。
使用二项式定理证明：
- 当\(n = k\)时，\((a + b)^{k}=\sum_{i = 0}^{k}C_{k}^{i}a^{k - i}b^{i}\)。
- 令\(a = 1\)，\(b = 1\)，则\((1 + 1)^{k}=\sum_{i = 0}^{k}C_{k}^{i}\times1^{k - i}\times1^{i}=\sum_{i = 0}^{k}C_{k}^{i}\)。
- 因为\((1 + 1)^{k}=2^{k}\)，所以\(\sum_{i = 0}^{k}C_{k}^{i}=2^{k}\)，即\(f(k)=2^{k}\)。
未完待续...
