数学题做题记录

前言

这一周搞数学，于是我就顺手开了一篇博客，记录一些我认为比较好的题目。这次的题解准备写的简略一些，并且会总结每道题的关键点。希望能对自己有帮助、提升。

——upd on 2025.3.17

有标号 DAG 计数

要点总结

1. 弱连通图生成函数的 exp 就是任意连通图的 EGF
2. \(i\times j={i+j\choose2}-{i\choose2}-{j\choose2}\)
3. 遇到限制性强的信息直接容斥

题解

首先转化成对任意连通图计数再求 ln，对于任意连通图考虑入度为零的点个数。这个信息限制了我们的转移，于是我们钦定入度为零的点个数然后简单容斥。设 \(a_{i,j}\) 表示 i 个点钦定 j 个入度为零，\(b_{i,j}\) 表示恰有 j 个入度为零，就有：

\[\begin{aligned} a_{i,j}=\sum_{k=j}^i{k\choose j}b_{i,k}\\ a_{i,j}={i\choose j}2^{j(i-j)}g_{i-j}\\ g_n=\sum_ib_{n,i} \end{aligned} \]

经过一番推导化简归类得到：

\[{g_n\over n!2^{n\choose2}}=\sum_{i=0}^n{(-1)^{i+1}\over i!2^{i\choose2}}{g_{n-i}\over (n-i)!2^{n-i\choose2}} \]

令：

\[\begin{aligned} P(n)={g_n\over n!2^{n\choose2}}\\ Q(n)={(-1)^{n+1}\over n!2^{n\choose2}} \end{aligned} \]

就有：

\[P(x)={1\over1-Q(x)} \]

硬币游戏

要点总结

1. 构造一个长度为 l 的特定 01 串概率是 \(1\over2^l\)
2. 到一个字符串结束的条件

题解

设 \(f_0\) 表示任意长度的一个串合法的概率，\(f_i\) 表示第 i 个人获胜概率，就有：

\[\sum_{i=1}^nf_i=1 \]

如果我们强制以某个串结尾，那么在这个串接在一个任意长的串后不一定行。因为有可能这个串的前缀恰巧是另一个串后缀，所以去重，有：

\[f_i={f_0\over2^m}-\sum_{j=1}^nf_j\sum_{k=1}^m[pre_{i,k}=suf_{j,k}]{1\over2^{m-k}} \]

于是就可以高消 \(O(n^3)\) 做完了。

情侣？给我烧了！

要点总结

1. EGF 解决计数
2. Catalan 数的生成函数

题解

注意：此题题解只保留关键步骤，但是还是写了很多式子，这道题有点复杂。

这道题原始式子很容易推出：

\[f_{n,k}={n\choose k}^22^kk!D_{n-k} \]

其中 \(D_{i}\) 表示将 i 对情侣错开排座位的方案数。现在关键是求出 \(D_i\)。

经观察可发现：

\[\sum_kf_{n,k}=(2n)! \]

于是我们就把 \(f_{n,k}\) 写开，之后会发现 \(\sum\) 里面只有与 k 有关的和与 n-k 有关的东西，可以想到卷积。于是有：

\[e^{2x}\sum_{k}{D_{k}\over k!^2}={(2n)!\over n!^2} \]

令 \(G_i={D_i\over i!^2}\)于是有：

\[G(x)={e^{-2x}\over\sqrt{1-4x}} \]

这里其实已经结束，我们暴力还原回合式即可。但还可以继续拆解，考虑求导：

\[G'(x)={8x \cdot e^{-2x}\over(1-4x)^{3\over2}}={8x\over(1-4x)}G(x) \]

化简就能得到：

\[G'(x)=4xG'(x)+8xG(x) \]

把 \(G_i\) 还原回去得到：

\[D_n=4n(n-1)D_{n-1}+8n(n-1)^2D_{n-2} \]

整数的lqp拆分

要点总结

1. 生成函数计数
2. 特征多项式基本应用

题解

我们套路性地套上生成函数，发现其实 \(a_i\) 的值我们不关心，反倒是 \(a_i\) 的个数，设答案为 \(G(x)\)，就有：

\[G(x)=\sum_iF(x)^i \]

化简得到：

\[G(x)={1-x-x^2\over1-2x-x^2} \]

分母可变成递推式：

\[a_n=2a_{n-1}+a_{n-2} \]

乘分子得到：

\[ans=a_n-a_{n-1}-a_{n-2}=a_{n-1} \]

然后你就可以把递推式拿去解特征方程求通解了，答案是：

\[{\sqrt2-1\over2\sqrt2}(1-\sqrt2)^{n-1}+{\sqrt2+1\over2\sqrt2}(1+\sqrt2)^{n-1} \]

城市规划

要点总结

1. 简单有标号无向连通图的生成函数的 exp 是简单有标号无向图的 EGF

题解

和此博客第一题类似，考虑 exp 的组合意义，然后求简单有标号无向图的 EGF 就做完了。

付公主的背包

要点总结

1.\(\prod\) 转 \(\exp\sum\ln\)

题解

面对 \(\prod\) 不好处理，难以战胜，我们考虑把 \(\prod\) 转化成 \(\exp\sum\ln\)。对于每个 V 一起计算。

在处理 \(\ln\) 的时候我通过瞎猜找到的其合式：

\[\ln{1\over1-x^V}=\sum_{i}{x^{iV}\over i} \]

下面给出证明：

\[\begin{aligned} g(x)&=\ln{1\over1-x^V}\\ &=\int({\mathrm d\over\mathrm dx}\ln f)(x)\mathrm dx\\ &=\int({f'(x)\over f(x)})\mathrm dx\\ &=\int((1-x^V)f'(x))\mathrm dx\\ &=\int((1-x^V)\sum_iVi\cdot x^{Vi-1})\mathrm dx\\ &=\int(\sum_iVi\cdot x^{Vi-1}-\sum_iVi\cdot x^{Vi-1}x^V)\mathrm dx\\ &=\int(\sum_iVx^{Vi-1})\mathrm dx\\ &=\sum_{i}{x^{Vi}\over i} \end{aligned} \]

然后在 Vi 处暴力赋值累加最后一遍 exp 结束。

染色

要点总结

1. 恰好转钦定
2. 凑卷积形式

题解

套路。设 \(f_i\) 表示恰好有 i 种颜色出现 S 次，\(g_i\) 表示钦定有 i 种。考虑后者更容易表示，我们分步统计然后乘法原理。

具体的，我们先确定选的 i 种颜色，然后分配位置和顺序，最后考虑没选的怎么填。用 \(g_i\) 通过二项式反演表示 \(f_i\) 即可。

无聊的水题

要点总结

1. 度数+有标号无根树联想到 prufer 序列
2. EGF 的组合意义

题解

题目让你求 \(n\) 个点且最大点度为 \(m\) 的有标号无根树个数。

我们可以从上面的题意中找到一些关键字眼：最大点度、有标号无根树。这些无不指向同一个东西：\(prufer\) 序列！

首先每个 \(prufer\) 序列都对应一个有标号无根树，其次一个数在序列中的出现次数加一就是其度数，所以我们将题目转化成下面形式：

在序列上填数，序列长度为 \(n-2\)，填数的范围是 \([1,n]\)，需要满足出现次数最多的数出现了 \(m-1\) 次，求方案数。

因为最多恰好出现 \(m-1\) 次不好计数，所以容斥。考虑出现次数小于 \(m\) 次的数量减去小于 \(m-1\) 的数量。现在问题被进一步简化，考虑求最多出现次数小于 \(m\) 次的填数方案数。

解决这种组合问题最简洁的我认为是 \(EGF\)。尝试用 \(EGF\) 去刻画这个问题，我们先从最简单的开始。考虑只填一个数，其出现次数的 \(EGF\) 为 \(F(x)=\sum\limits_{i=0}^m{x^i\over i!}\)。我们知道 \(EGF\) 相乘会多出一个组合数，也就是说 \(EGF\) 相乘可以刻画组合问题。对于此题也是如此。我们将 \(F(x)\) 连续乘 \(n-2\) 次，就刻画了将 \(n\) 种不同的数填进长度为 \(n-2\) 的序列的过程。所以答案就是 \([x^{n-2}]F(x)^n\)。多项式快速幂可用不同方法解决，这里用的是 \(O(n\log n)\) 的做法。