题解 P7353【[2020-2021 集训队作业] Tom & Jerry】
题目描述
给定一张包含 \(n\) 个顶点和 \(m\) 条边的 无向连通图，Tom 和 Jerry 在图上进行了 \(q\) 次追逐游戏。
在第 \(i\) 次游戏中，Tom 一开始位于顶点 \(a_i\)，而 Jerry 一开始位于顶点 \(b_i\)（双方任何时候都知道自己和对方的位置），追逐规则如下：
-
Jerry 和 Tom 交替行动，Jerry 先行动。
-
Jerry 每次行动可以通过无向图中的 任意多条边（可以选择不移动），但是在移动过程中不能经过 Tom 当前所在的结点，否则就会被抓住。
-
Tom 每次行动只能通过无向图中的 至多一条边（可以选择不移动）。
-
如果 Tom 在一次行动后到达了 Jerry 的位置，那么 Tom 胜利。
Tom 尽量想要胜利，而 Jerry 会尽量阻止 Tom 胜利。
现在你需要对于每一局游戏，求出 Tom 是否一定能在有限次行动内获胜。
对于 \(100\%\) 的数据，\(1\leq n,m,q\leq 10^5\)，\(1\leq x,y,a,b\leq n\)，\(a_i\ne b_i\)。
保证给出的无向图连通，且不含重边和自环。
solution
由于要求 Jerry 的路径不能与 Tom 的位置重叠，这里就蕴含了一种割点的想法，考虑建圆方树。
首先可以发现，如果一个圆点能一步到达它相邻某个方点的点双中所有点，Tom 一旦站上去这个点，如果 Jerry 逃不出这个点双，Jerry 就会被吃；如果没有这样的点，Jerry 一直待在这个点双里，Jerry 就赢了。可以发现这种点异常的关键，不如先取个名字，叫作一步杀点。
假如说 Jerry 待在一个点双里面，Tom 来的方向到达这个点双的第一个点无法一步杀，Jerry 要躲在 Tom 到的第一个点一步到不了的点。当 Tom 进入这个点双的时候，Jerry 就可以开始考虑他应该逃向何处。可以发现 Jerry 实际上整张图都可以去，分两种情况，如果要经过 Tom 所在的点，那么让 Tom 先走一步，然后 Jerry 逃走；如果不经过 Tom 所在点，Jerry 直接跑就可以了。
但是一直跑下去也不是一个办法，我们需要找一种稳定的策略。可以发现核心就在于 Tom 来的方向到达这个点双的第一个点无法一步杀，假如我们找到两个点双，假如它们对应的方点 \(x, y\) 之间的路径 \(x- u- \cdots- v- y\) 上，\(u\) 无法一步杀 \(x\)，\(v\) 无法一步杀 \(y\)，那么 Jerry 在这两个点双之间来回奔跑就行了。只要一开始 Jerry 到达这对点双的一端，Jerry 就赢了。
总结：如果一个圆点不能一步到达它相邻某个方点的点双中所有点，那么将这条边定向为圆点到方点。我们仔细分讨一下，就会发现：
- 如果有两个方点 \(x, y\)，它们之间的路径形如 \(x- u- \cdots- v- y\)，如果发现 \(u\to x\) 和 \(v\to y\) 这两条边被定向了，那么标记 \((x, y)\) 为好的点对。询问 \(a, b\) 时，删去 \(a\)，若有一个好的点对的其中一端在 \(b\) 所在连通块中，那么 Jerry 就获胜了（Jerry 可以在这两个方点中来回横跳）。
- 还有一种情况，如果一个方点上没有点定向到它，而同时 Jerry 一开始可以到达这个方点，那么 Jerry 也获胜了。
可以证明这个和 ix35 的结论是等价的，过程就不写了。至此可以平方完成，然后就用其它技术例如树上倍增之类的优化一下就可以了，后面的部分一点都不难，就不写了。
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr, ##__VA_ARGS__)
#else
#define endl "\n"
#define debug(...) void(0)
#endif
using LL = long long;
constexpr int N = 1e5 + 10;
int n, m, q, siz[N << 1];
bool upw[N << 1];
basic_string<int> g[N], tr[N << 1];
vector<pair<int, int>> E[N << 1];
int dfn[N << 1], tot, cnt;
void tarjan(int u) {/*{{{*/static int low[N], stk[N], top;static vector<pair<int, int>> Estk;low[u] = dfn[u] = ++cnt, stk[++top] = u;for (int v : g[u]) {auto e = make_pair(u, v);if (dfn[v]) {low[u] = min(low[u], dfn[v]);if (dfn[v] < dfn[u]) Estk.push_back(e);} else {Estk.push_back(e);tarjan(v), low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] >= dfn[u]) {int p = ++tot;tr[p] += u, tr[u] += p;do tr[p] += stk[top], tr[stk[top]] += p; while (stk[top--] != v);auto lst = e;do E[p].push_back(lst = Estk.back()), Estk.pop_back(); while (lst != e);}}}
}/*}}}*/
auto getw(int u, int v) { return dfn[u] < dfn[v] ? upw[v] : upw[u]; }
int anc[18][N << 1], dep[N << 1];
void dfs1(int u, int fa) {anc[0][u] = fa;dfn[u] = ++cnt, siz[u] = 1, dep[u] = dep[fa] + 1;if (u > n) {auto bg = E[u].begin(), ed = E[u].end();for (auto& [x, y] : E[u]) if (x > y) swap(x, y);sort(bg, ed), E[u].erase(unique(bg, ed), ed);static int deg[N << 1];for (int v : tr[u]) deg[v] = 0;for (auto [x, y] : E[u]) deg[x] += 1, deg[y] += 1;for (int v : tr[u]) if (deg[v] != (int)tr[u].size() - 1) upw[v == fa ? u : v] = true;}for (int v : tr[u]) if (v != fa) dfs1(v, u), siz[u] += siz[v];
}
bool ok[N << 1];
vector<int> dfs2(int u, int fa) {bool done = true;vector<int> pre;for (int v : tr[u]) if (v != fa) {auto&& res = dfs2(v, u);if (v > n && getw(u, v)) res.push_back(v);if (!res.empty()) {if (done || !pre.empty()) {done = true;for (int x : pre) ok[x] = true;for (int x : res) ok[x] = true;pre.clear();}}}return pre;
}
int jump(int u, int k) {for (int j = 17; j >= 0; j--) if (k >> j & 1) u = anc[j][u];return u;
}
vector<int> vec;
bool cok(int l, int r) {auto it = lower_bound(vec.begin(), vec.end(), l);return it != vec.end() && *it <= r;
}
bool check(int x, int y) {if (dfn[x] <= dfn[y] && dfn[y] < dfn[x] + siz[x]) {y = jump(y, dep[y] - dep[x] - 1);return cok(dfn[y], dfn[y] + siz[y] - 1);} else {return cok(1, dfn[x] - 1) || cok(dfn[x] + siz[x], tot);}
}
int main() {
#ifndef LOCALcin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
#endifcin >> n >> m >> q, tot = n;for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) cin >> u >> v, g[u] += v, g[v] += u;for (int i = 1; i <= n; i++) if (!dfn[i]) tarjan(i);cnt = 0, dfs1(1, 0);for (int i = n + 1; i <= tot; i++) {int cc = 0;for (int v : tr[i]) if (getw(i, v)) ++cc;if (cc == (int)tr[i].size()) ok[i] = true;}dfs2(1, 0);for (int i = 1; i <= tot; i++) if (ok[i]) vec.push_back(dfn[i]);sort(vec.begin(), vec.end());for (int j = 1; j <= 17; j++) {for (int i = 1; i <= tot; i++) anc[j][i] = anc[j - 1][anc[j - 1][i]];}while (q--) {int x, y;cin >> x >> y;cout << (!check(x, y) ? "Yes" : "No") << endl;}return 0;
}
