平衡树-入门

本文有一只奶龙编写，有借鉴会在其中说明。

平衡树

要了解平衡树是什么，我们需要先了解一个东西：二叉搜索树（也称二叉查找树）。

• 二叉搜索/查找树（BST）

如果我们有一颗二叉树可以进行查找，那么就可以说明其中的节点一定又有一个能够区分大小的“键值”。我们有节点来存储这些键值。这些节点最好可以按照它们各自的键值来进行排序（按照好坏优劣），这样才可以在这棵树上面进行高效且快速的查找，于是一个名词就这样诞生了：二叉搜索/查找树（Binary Search Tree，俗称 BST）。

我们现在来分析一下 BST 的一些特征，知道这些我们才可以来了解平衡树。

• BST 的特征

我们可以发现，BST 具有以下特征：

1. BST 中的每一个节点都只有唯一的键值，且这些键值可以按照好坏优劣来区分它们的大小。

2. 在 BST 上，以任意一个节点作为一棵子树的根，那么这棵子树一定也是一颗 BST（当然，这是显然的）。任何节点的键值都比它的左边的节点的键值要大一些，自然，任何节点的键值都比它的右边的节点的键值要小一些。可以发现，承载最大的键值的节点没有右节点，因为右节点需要大于根节点。

那我们可以来用图片来理解一下：

比如这就是一颗标准的 BST，其中我们可以发现的是，如果对于特征 2，那么使用中序遍历就可以得到了一个有序的排列（中序遍历：先遍历左子树，然后是根，然后是右子树）。

如图所示，那么我们得到的序列应该是 \([1, 2, 3, 4, 5 , 6]\)。

通过虚线可能会更加清楚：

如图所示，我们在图上画了一些虚线，把每一个节点都隔开，这是可以发现，树上的节点正好按照从小到大的顺序被虚线所隔开，刚好形成了一个有序的序列。到后面，有了这些虚线的帮助，我们可以跟好的去理解 Treap 和 Splay 树中“旋转”的操作技术。

既然都是二叉查找树了，那么我们在 BST 查找一个数，查找的次数其实就是这颗二叉搜索的树的深度。我们来举个例子，我们现在需要来查找 \(3\) 这个节点，从根节点开始，沿着 4->2->3 的顺序查找两次就确定了。我们在建立一颗二叉查找树的时候，如果每一层差不多都是满的节点，那么此时的 BST 的层次是最少的，此时，才能最好的展现 BST 的威力。

• BST 的形态