（o1整理的字幕）相场与流体模拟1.1

o1：

下面这份内容，试图在“外国风格（非苏联风格）”的行文体例下，尽可能详细地整合之前所有讨论的要点，并且吸纳了视频字幕中相当多的“废话”与延伸性解释，力图让不同背景（包括对数学薄弱或对物理概念不熟悉的读者）都能跟得上，也希望能把“干粮”充分“泡成粥”，以一种循序渐进、偏口语又不失严谨的方式讲述。请做好阅读一篇相当冗长又细节满满的教科书的准备，若您觉得啰嗦，可以选择性跳读；若您需要每一个推导的来龙去脉和更多直觉，请从头到尾耐心读完。

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基于相场与流体力学的基础理论与数值方法（超详细整合版）

第一部分：从视频字幕到一本教材

在最初的视频字幕里，我们讨论了很多和相场模型（Phase Field Model）相关的东西，包括一些流体力学（比如不可压Navier-Stokes）以及对应的数值方法。这些内容看似“碎片化”，同时还夹杂着诸多“嗯”、“啊”、“你看”、“对吧”、“那”之类的口头词。但正是这些在传统教科书中往往被删掉的废话，能够让基础较弱、或者思路不够流畅的读者获得更多“泡软了的干货”。由于这里采用非苏联式写作方法，我们更倾向于在解释推导时，多留一点“口水话”或“背景串讲”，即使显得啰嗦，却会让学习者在这过程中少走弯路。

因此，本篇教科书将：

1. 保留视频字幕的主要论述脉络，融入大量推导细节；
2. 特别关注Allen-Cahn方程与Cahn-Hilliard方程在“质量是否守恒”与“能量耗散”层面的严谨分析；
3. 串讲从简单的热方程（Heat Equation）到更一般相场模型（Allen-Cahn, Cahn-Hilliard）的逻辑路线；
4. 介绍常见数值方法的基本概念，及其在相场-流体耦合问题中的简单应用思路。

如果有人问：“为什么要啰嗦这么多？”，那就是为了让大家能像“喝粥”一样吸收本来“又干又硬”的相场推导干货。

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第二部分：课题组的研究与背景铺陈

（原视频口述片段摘录）
“…那我们这个主要是以我们这个课题组为呃基础啊，我们这个主要考虑到就现在嗯就嗯就不能每天在一块儿啊做研究。所以说呃我们把这个two phase啊包括一些延伸的内容，呃，包括相场啊模型的推导。比如说对于热方程，呃，艾伦看方程以及凯利的方程，嗯，他们怎么通过这个从梯度流，也就是说我从一个自由能呃从一个自由能范函出发，那如何呃推导出我的governing啊以及相场模型的一些基本的物理含义，还有它的应用啊。呃呃之后呢会介绍这个关于纳维帅克斯（Navier-Stokes）方程，也就是求解这个呃不可压缩流体的纳维斯托克斯方程组它怎么推导。然后呢此外呢只介绍一些呃我们这个书中的一些呃常见的啊的数值方法……”

2.1 研究集中在“相场（Phase Field）”和“不可压流体”耦合

这个课题组的研究围绕类似油水两相流、相变、晶体生长等需要处理界面的复杂问题展开。传统做法可能要做追踪界面（如VOF, Level Set, Front Tracking等），而相场方法（Phase Field Method）则把界面扩散化(Diffuse Interface)，通过在整个计算区域(\Omega)定义一个连续函数(\phi(\mathbf{x},t))来区分两相或多相。

• 当(\phi\approx +1)：表示相A（如油）。
• 当(\phi\approx -1)：表示相B（如水）。
• 在两相交界处，(\phi)从-1到+1连续平滑地过渡，形成一个厚度较小但非零的“过渡层”。

2.2 “课题组主页”与一些开源程序

“…你可以看过一下我的主页啊，就这个 cfd阳521点gup点L O。呃上面有一些publication，我们每年发的论文也都是围绕相场和流体模型展开的。我们还共享了一些code子，就可以用来模拟各种多组分流动行为……”

课题组主页（名字比较口语化，这里就仅作示例）提供了：

• 代码示例：展示怎么用Allen-Cahn或Cahn-Hilliard耦合Navier-Stokes，模拟多相流、界面张力、浸润边界等等；
• 多种现象演示：如雪花生长、三维重建、流固耦合等；
• 公开程序：分别采用有限差分、谱方法或其它方法，供读者自行下载和测试。

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第三部分：快速回顾——相场函数与扩散界面

3.1 特征函数(\phi)的核心概念

“…那相场理论区别于其他方法，就是它用一个阶参量(\phi)（order parameter），在一相中等于+1，另一相中等于-1，然后在界面做一个光滑过渡。这样数值上就避免掉了一些锐界……”

简言之，如果整个区域(\Omega)里有两种互不相溶的流体（或物质），想用单个函数(\phi(\mathbf{x},t))来表示“此处是哪种流体”，我们给(\phi)两端固定极值。例如：

1. (\phi=+1)：表示流体1（如气泡内部的气体）；
2. (\phi=-1)：表示流体2（如外部的水）。

真实物理当中，这两个流体的分界面或许非常锋利，但在数值模型里，把界面设成一个可微的过渡区域：(\phi)从-1到+1平滑变化。界面厚度(\epsilon)可以调节——小(\epsilon)意味着更接近锐界，但数值上也更耗资源。

3.2 扩散界面 vs. 锐界面

• 锐界(Sharp Interface)方法：需要专门处理不连续，追踪界面位置并计算曲率、表面张力等量；
• 扩散界面(Diffuse Interface)方法：(\phi)始终连续，曲率、法向等可由(\nabla\phi)直接间接得到，各种数值手段往往更平滑、更容易实现。

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第四部分：从热方程到相场方程：自由能与梯度流的统一思路

“…那介绍相场模型前，我们可以先看一个最简单的：热方程(Heat Equation)。它其实也是能量耗散的一个例子，只不过没有势函数，只剩梯度项……”

这一节主要是帮大家熟悉一种通用的推导套路：

1. 构造自由能泛函 (E[\phi])。
2. 求其变分导数 (\delta E/\delta \phi)。
3. 指定系统演化遵循梯度下降（消耗能量）：“(\partial_t\phi = -(\delta E/\delta \phi))”或更一般形式。
4. 从而得到具体的偏微分方程。

4.1 简单热方程：只有梯度项的能量

考虑：
[
E[\phi]
,=,
\int_{\Omega} \tfrac12 ,\lvert\nabla\phi\rvert^2
,\mathrm{d}\mathbf{x}.
]

• 物理解释：温度场如果“内部分布很不均匀”，梯度大，系统就有更高的能量；随时间流逝，热量会扩散使温度趋于均匀，从而降低该能量。

4.1.1 变分导数

用变分法或分部积分（假设边界上的法向导数为0）可得：
[
\frac{\delta E}{\delta \phi}
,=,
-,\Delta\phi.
]

4.1.2 L2梯度流给出热方程

令
[
\partial_t\phi
;=;
-,\frac{\delta E}{\delta \phi}
;=;
\Delta\phi,
]
这就是无源状态下的热方程(Heat Equation)：(\partial_t \phi = \Delta \phi)。

热方程的求解经典且简单，但它实际上正是相场模型所依赖的“梯度流+能量耗散”基本范例。

4.1.3 能量耗散性

“…我们让(\phi_t = \Delta\phi)，那么(\frac{d}{dt} E[\phi]\le0)就能被证明。这里就可以体现梯度下降(gradient flow)的概念……”

乘方程两边(\partial_t\phi)并对空间积分，或者直接用分部积分技巧，都能得到
[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E[\phi]
,=,
-,
\int_\Omega
(\Delta\phi)^2
,\mathrm{d}\mathbf{x}
,\le0,
]
也就是说，该能量在时间演化中只会减少，不增。

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第五部分：Allen-Cahn方程：侧重“相分离”但不保证质量守恒

“…那如果我们想描述一个系统里两个相分离，比如油和水要分开成(\pm 1)两团，就得加入一个Potential（势函数）。最常见就是(\frac{1}{4}(\phi^2-1)2)。这就得到一个叫Allen-Cahn的方程……”

5.1 Allen-Cahn的自由能：梯度+双势阱(double well)

大多数相场模型都带有：

1. 梯度项（对应界面能）：(\tfrac{\epsilon^{2}{2}|\nabla\phi|}2)，其中(\epsilon)控制界面宽度；
2. 势函数项（对应相分离趋势）：(\tfrac{1}{4}(\phi^2-1)2)，在(\phi=\pm1)时能量最低。

组合起来：
[
E[\phi]
,=,
\int_\Omega
\Bigl[
\frac{\epsilon^{2}{2},\lvert\nabla\phi\rvert}2
;+;
\frac{1}{4},(\phi^2 - 1)^2
\Bigr]
,\mathrm{d}\mathbf{x}.
]

5.2 推导Allen-Cahn：L2梯度流

1. 变分导数
   [
   \frac{\delta E}{\delta \phi}
   ;=;
   \epsilon^2 ,(-\Delta\phi)
   ;+;
   (\phi^3 - \phi).
   ]

2. 方程形式
   [
   \partial_t \phi
   ;=;
   -,\frac{\delta E}{\delta \phi}
   ;=;
   -,\epsilon^2(-\Delta\phi)
   ;-;
   (\phi^3 - \phi)
   ;=;
   \epsilon^2 ,\Delta\phi
   ;-;
   (\phi^3 - \phi).
   ]
   这即Allen-Cahn方程。有时也写作
   [
   \partial_t \phi
   ;=;
   \epsilon^2,\Delta\phi
   ;-;
   \phi(\phi^2-1).
   ]

5.3 Allen-Cahn的“质量”与“能量”

5.3.1 能量耗散

同样乘(\partial_t\phi)并积分，可证
[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E[\phi]
,\le0,
]
符合能量耗散(energy dissipation)特征。

5.3.2 质量非守恒

“…但Allen-Cahn呢，你对两边积分就会发现那个(\phi^3-\phi)项不一定积分为0，所以它不保证(\int\phi)恒定……”

• 我们来算：
  [
  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
  \int_\Omega
  \phi
  ,\mathrm{d}\mathbf{x}
  ;=;
  \int_\Omega
  \partial_t\phi
  ,\mathrm{d}\mathbf{x}.
  ]
• 代入Allen-Cahn方程：
  [
  \int_\Omega
  \Bigl[
  \epsilon^2,\Delta\phi
  ;-;
  (\phi^3-\phi)
  \Bigr],
  \mathrm{d}\mathbf{x}.
  ]
  首项(\int_\Omega \epsilon^2 \Delta\phi,\mathrm{d}\mathbf{x})可转为边界通量，若边界是齐次诺依曼或周期边界，则该部分贡献为0。但第二项(\int_\Omega -(\phi^3-\phi),\mathrm{d}\mathbf{x})却不必为0。
• 因此总和并非通常为0，所以(\int_\Omega \phi,\mathrm{d}\mathbf{x})随时间可变。这就是Allen-Cahn系统常被称为“质量耗散”(mass non-conserving)的原因。

5.3.3 场景适用性

• Allen-Cahn方程更适合用来做相分离但不要求“两种流体总量守恒”的场合，或者我们并不十分关心有无守恒，只关心界面的形成和演化形态。
• 若必须严格保留流体A与流体B的总体积（或总质量）各自不变，则不适用，需要Cahn-Hilliard等守恒型方程。

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第六部分：Cahn-Hilliard方程：质量守恒 + 能量耗散

“…要做两相流体模拟，比如水和油都不蒸发、不外流，合在一起总量不变，我们就需要Cahn-Hilliard：它是H^-1梯度流，(\partial_t\phi=\nabla\cdot(M\nabla\mu))，(\mu=\delta E/\delta\phi)……”

6.1 和Allen-Cahn同样的能量，但不同的动力学

Cahn-Hilliard的能量泛函和Allen-Cahn几乎一样：
[
E[\phi]
,=,
\int_\Omega
\Bigl[
\frac{\epsilon^2}{2} \lvert\nabla\phi\rvert^2
;+;
\frac{1}{4},(\phi^2 - 1)^2
\Bigr]
,\mathrm{d}\mathbf{x}.
]
区别只在于我们把演化规则改成

“在更高层次的空间（H(^{-1})空间）做梯度下降”，

具体而言，引入化学势(\mu):
[
\mu
,=,
\frac{\delta E}{\delta \phi}
,=,
\epsilon^2(-\Delta\phi)
;+;
(\phi^3-\phi),
]
并写下
[
\partial_t\phi
,=,
\nabla\cdot \bigl(M\nabla\mu\bigr).
]
当(M=1)时，就得通常说的Cahn-Hilliard相场方程：
[
\partial_t\phi
,=,
\nabla\cdot(\nabla\mu)
,=,
\Delta(\mu).
]

6.2 为什么它能保证质量守恒？

• 我们要求：
  [
  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
  \int_\Omega
  \phi
  ,\mathrm{d}\mathbf{x}
  ;=;
  0.
  ]
• 代入(\partial_t\phi=\nabla\cdot(\nabla\mu))：
  [
  \int_\Omega
  \nabla\cdot(\nabla\mu)
  ,\mathrm{d}\mathbf{x}.
  ]
• 用散度定理转成边界面上的通量：
  [
  \int_{\partial\Omega}
  (\nabla\mu)\cdot \mathbf{n}
  ,\mathrm{d}S,
  ]
  其中(\mathbf{n})为外法向量。如果对(\mu)施加周期或齐次诺依曼边界，则这在边界为0，从而整个积分为0。这就保证了
  [
  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
  \int_\Omega
  \phi
  ,\mathrm{d}\mathbf{x}
  = 0,
  ]
  即质量守恒。

6.3 依旧保持能量耗散属性

“…Cahn-Hilliard方程同样是一个梯度流，只不过是‘H^-1流’，它也能保证(\frac{d}{dt}E[\phi]\le0)……”

证明思路：

1. 乘Cahn-Hilliard方程：((\partial_t\phi=\nabla\cdot\nabla\mu))以(\mu)，并在(\Omega)上积分；
2. 将(\mu)写作(\mu=\delta E/\delta\phi)，对其乘(\partial_t\phi)积分；

3. 分部积分后可得
   [
   \frac{d}{dt} E[\phi]

   -,\int_\Omega
   |\nabla\mu|^2
   ,\mathrm{d}\mathbf{x}
   ;\le0.
   ]
   这样就能看出它也在演化中自发降低（或保持）系统能量。

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第七部分：守恒型Allen-Cahn？再补充一点思路

“…也有人在Allen-Cahn方程里加一个拉格朗日乘子(\lambda(t))来强制(\int\phi)不变，那样也能得到质量守恒的Allen-Cahn。或者用拉普拉斯在时间导数前面，叫Cahn-Hilliard。不过两者在动力学细节上仍不相同……”

如果很喜欢Allen-Cahn的实现简单性，又想要质量守恒，可以补充一个只随时间变的(\lambda(t))项：
[
\partial_t\phi
,=,
-,\frac{\delta E}{\delta\phi}
;+;
\lambda(t).
]
通过恰当选(\lambda(t))，可令(\int\phi)保持常数。类似思路还有Cahn-Hilliard等，都可以实现守恒。但在实际流体模拟中，更常见的是Cahn-Hilliard那一套。

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第八部分：Navier-Stokes与相场的耦合

“…介绍完这些方程之后，我们就会去看怎么和Navier-Stokes方程结合，比如不可压条件(\nabla\cdot \mathbf{u}=0)，怎么处理界面的表面张力，以及Momentum方程怎么改写……”

在多相流模拟里，我们不仅要(\phi)随时间演化，还要流体的速度场(\mathbf{u})和压力(p)满足：

• 动量方程（不可压Navier-Stokes）：
  [
  \rho\Bigl(
  \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}
  + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}
  \Bigr)

  -,\nabla p
  • \eta,\Delta \mathbf
  • \mathbf{F}{\mathrm{interface}}(\phi),
    ]
    其中(\mathbf{F}{\mathrm{interface}}(\phi))是相场引起的界面力（例如(\propto \phi\nabla\phi)之类），也有更复杂的形式。
• 不可压：(\nabla\cdot \mathbf{u}=0)。
• 相场方程：Allen-Cahn或Cahn-Hilliard等，用(\phi)来捕捉界面。

数值模拟时，要同时离散(\mathbf{u},p,\phi)。一些常用技巧包括：

• Projection法或分步法求解Navier-Stokes；
• 半显式（或者半隐式）处理相场的高阶项；
• 在边界或界面上施加恰当的边界条件，如无滑动(no-slip)或齐次诺依曼等。

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第九部分：常见数值方法以及编程测例

“…在我们这个书或者视频后面，会去推一个最简单可行的有限差分方法(给出一阶、二阶精度的离散)，再加上一些程序示例……”

9.1 时间离散

• 显式欧拉(Forward Euler)：简单直观，但稳定性要求小时间步；
• 隐式欧拉(Backward Euler)：稳定性好，但每步要解线性或非线性方程组；
• 半隐式分裂：对Allen-Cahn或Cahn-Hilliard的高阶算子采取显隐分开处理，以提高效率；
• Runge-Kutta, Adams-Bashforth等多步法，用于更高精度演化。

9.2 空间离散

• 有限差分(FDM)：在规则网格上用中心差分近似(\partial_x\phi\approx (\phi_{i+1}-\phi_{i-1})/(2\Delta x))等；
• 谱方法(Fourier/Chebyshev)：若问题满足周期或一定光滑性，能获得高阶精度；
• 有限元、有限体积：更通用，处理复杂边界；
• 浸入边界法(Immersed Boundary)：若要在流场中嵌入运动或变形的固体边界。

9.3 实际编程小结

“…之后你们可以看我的代码示例，比如怎样写一个二维Cahn-Hilliard+N-S方程的程序……对吧？每一段都很基础，可以跑出一些油水分离现象或者液滴流动现象。我们也有用谱方法做三维雪花生长……”

1. 初始化：给定(\phi(x,y,0))；
2. 每一时间步：
   • 更新(\phi^{n+1})（用Allen-Cahn或Cahn-Hilliard离散后的形式），可能需要解Poisson-like或者Laplace-like方程；
   • 更新(\mathbf{u}^{n+1},p)（不可压N-S），采用分步或投影法；
   • 处理边界或周期条件。
3. 后处理：可将(\phi)可视化为相图、用Streamline/Vorticity查看流场；若三维，还能渲染出比较炫酷的三维界面。

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第十部分：Allen-Cahn vs. Cahn-Hilliard再总结——质量与能量的极端详细对比

“有人可能还是困惑：Allen-Cahn为啥质量不守恒，Cahn-Hilliard为啥守恒？能不能再展开？这里就极端详细再说一次……”

10.1 Allen-Cahn的质量非守恒

• 方程：(\partial_t\phi = -\frac{\delta E}{\delta\phi} = \epsilon^2\Delta\phi - (\phi^3 - \phi))。

• 对两端积分：
  [
  \int_\Omega \partial_t\phi

  \int_\Omega \epsilon^2\Delta\phi

  \int_\Omega (\phi^3 - \phi).
  ]
• 若边界项为0，第一项积分为0，但第二项没有理由为0，故(\frac{d}{dt}\int_\Omega\phi\neq 0)。

也可用物理直觉解释：Allen-Cahn方程像热方程+势函数，会让(\phi)往(\pm1)发展，却不关心“全局(\phi)平均值”是否被保持。

10.2 Cahn-Hilliard的质量守恒

• 方程：(\partial_t\phi = \nabla\cdot(\nabla\mu))，(\mu=\epsilon^{2(-\Delta\phi)+(\phi}3-\phi))。

• 对两端积分：
  [
  \int_\Omega
  \partial_t\phi

  \int_\Omega
  \nabla\cdot(\nabla\mu)

  \int_{\partial\Omega}
  (\nabla\mu)\cdot\mathbf{n}.
  ]
• 若(\mu)在边界满足周期或(\nabla\mu\cdot\mathbf{n}=0)，就为0。
• 因此(\frac{d}{dt}\int_\Omega\phi=0)，质量不变。

10.3 二者都具备能量耗散

• Allen-Cahn：(\displaystyle \frac{d}{dt}E[\phi] = -\int_\Omega (\partial_t\phi)^2 + \dots \le0)（略去中间分部积分细节）
• Cahn-Hilliard：(\displaystyle \frac{d}{dt}E[\phi] = -\int_\Omega |\nabla\mu|^2,\mathrm{d}\mathbf{x}\le0)。

换言之，能量都在演化中递减（或不变）。只是Allen-Cahn不“管”是否全局守恒，而Cahn-Hilliard“强制”(\phi)总量不变。

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第十一部分：后续学习与本书特点

“…那我们打基础的话，就是先把Allen-Cahn、Cahn-Hilliard、Navier-Stokes都讲一遍，包括最简单的数值离散和示例程序。虽然说精度可能不高，但是能用就行。想要更深更复杂的可以去看更多文献……”

本书特点：

1. 全程“泡粥式”教学：用大量口语连接，让基础薄弱者先形成直觉概念。
2. 循序渐进：从热方程 → Allen-Cahn → Cahn-Hilliard →/Navier-Stokes耦合 → 数值方法。
3. 注重完整保留“废话”：好多细节或“题外话”往往能帮读者少走弯路。

后续若读者想要更进一步：

• 阅读高级数值分析：高阶时间离散(比如IMEX, SAV, ELM等方法)，大规模并行算法；
• 结合材料科学/Biology/多领域：相场方法在很多交叉学科里都有独到应用；
• 学习更多经典文献：如Cahn与Hilliard原始论文、经典参考书《Phase-Field Models: Theory and Practice》等。

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文字来源：

呃，那我们这个主要是以我们这个课题组为呃基础啊，我们这个主要考虑到就现在嗯就嗯就不能每天在一块儿啊做研究。所以说呃我们把这个to face啊包括一些延伸的内容，呃，包括香场啊模型的推导。比如说对于热方程，呃，艾伦看方程以及凯利的方程，嗯，他们怎么通过这个从梯度流，也就是说我从一个自由能呃从一个自由能范函出发，那如何呃推导出我的governing啊以及相场模型的一些基本的物理含义，还有它的应用啊。呃呃之后呢会介绍这个关于纳维斯托克斯方程，也就是求解这个呃不可压缩流体的纳维斯托克斯方程组它怎么推导。然后呢此外呢只介绍一些呃我们这个书中的一些呃常见的啊的数值方法，还有当然了还有这个数值方法的一些基本概念。比如说啊呃一个函数啊，对时间的导数呃，或者说对空间的一阶导、二阶导，我们该用怎么样的一个呃有限差分的格式来近似它。然后呢才会有一阶精度，才会有二阶精度啊，这些呢我都给大家就详细的推导一下。呃，就包括之后像数值方法，一些最简单实用的数值方法，以及啊他们的这个这个对应的程序啊，这个是是怎样呃这个运行的，我们就是呃呃就具体的讲一下。之后你们就是看我这个视频啊，就是对照着看就可以了。呃，考虑到呢这个看我们这里有很多人啊，他其实我们对这个相场他不是很了解。那我们看一下这个，你可以看过一下我的主页啊，就这个cfd阳521点gup点L O嗯，当然主页嗯第一页呢是我这个我们课题组的一个介绍啊，包括我们的研究方向，当然现在不招生了，呃，之后呢有我我有我的一些publication，你看我点开publication之后啊，呃网有点慢啊。这是呃我们每年的一个我们组的论文的发表情况啊。像今年啊这个一些主要就是围绕着相场和流体模型展开的啊，包括呢我们在也共享了一些code子。比如说像这些流体啊，你看这这种啊这种混乱的流体的流动行为啊，包括像这种多组分的流体的流动行为。那这些东西呢我们都可以用这个相场方程，比如说看或者说呃island can，然后呢结合纳方程求解来模拟这些现象。那此外呢呃基于相场的模型呢，我们可以给它进行一些稍微的改造，对吧？那它可以来模来进行这个基于点云的啊这样的三维重建。此外呢像像像相场啊就是最常见的。我们可以当然可以用除了用差分方法，可以用普方法或者说用鸽兹波尔兹玛方法来求解他们。那这样的话呢我们可以通过求解坎西利的方程，实现我们这个图中啊展示的这种这个叫做像分离啊face separation这样的过程。那不同的初始浓度呢就会导致不同的一个像的演化。那此外呢当然我们也分享了一些鸽子布man的东西啊。呃当然虽然我们组呃不怎么做呃鸽子布尔兹曼，但是一些简单的啊，比如说一些呃流过河的问题，那当然还有用相场呃呃相场模型呢还可以做这种呃像这种呃结晶生长啊，就是呃相场结晶模型。那这里呢我们也分享了一个我们已经发表的工作，呃，这个程序是基于这个这个时间上一个龙格库塔啊，三阶龙格库塔，然后呢空间上采用复裂谱方法。然后呢每一段呢呃每一个我们的这个图啊都对应一个程序啊，这个程序是可以运行的。你看我们这里都贴在这里，所以说你感兴趣可以回去跑一下。那只是说这些都是相场可以做的，就是我们介绍的这系列模这些模型然包括像这种雪花的啊，这种织茎生长，还有当然像场还可以做这种图像的的分割问题。那这些所有的问题呢，它都可以用相场模型来做。那当然这里我们除了相场呢，也分享了一些就是基于这个叫immerse的bdary进入边界方法来求解这个流沟河问题。那当然它跟向场本身没关系，但是我们介绍纳维斯方程的时候呢，因为immerse的boundary方法特别在流过耦合中，通常要结合纳维斯克方程来做。Ok这就是我们的一些示意的扣子。呃，我们点开我们的这个里呢，我可以发现，比如说你看我用求解纳维斯方程的方法啊，我可以做这种啊复杂的机翼后面的绕流啊，然后呢还可以做这种啊平板绕流。那用相场嗯卡尔的模型结合求解纳维X方程，我可以做这种流构合对吧？像一个液滴啊在一个波纹板上的一个在上方剪切流作用下的一个移动，还有这个液滴在管道中的运动。那包括当然我用多组份的相场模型，那就是说呃多套流体嘛，对吧？那我可以模拟这种卷积云啊这种这种这种这种云层啊形成的这种比cloud对吧？那我用相场方法也可以近似的模拟出来，当然还可以嗯嗯呃做界面捕捉嘛，因为我们还可以模拟这种气液两相流，就是波浪啊，啊，还有液滴。那当然我们的方法还可以扩展到曲面上的，做曲面上的的流体动具。那还可以做这种带金呃呃浸润条件的，就是带接触线的问题。那浸润条件指的就是啊因为这个这个这个固体材料这表面的亲水和输水性质的不同，就会导致那我的液体在一个固体表面是铺开的那还是呃这种呃这种分离开了，呃，对，那就会形成就是不同的这种浸润条件。嗯，我们的方法呢相场模型呢还可以通过改造来做这种红细胞，ok那个也可以做这种呃这种流耦合的。比如说一些晶呃晶体啊在重力作用下的一个掉落的过程，那当然还可以做这种三维重建，对吧？哦，这是我们这个以前的课题组做高丽大学的跟我导师的合影，这是我们和师兄的合影。Ok这些呢就是相场和流体模型可以做的事儿。呃，当然了我们呢讲的东西呢是以基础的向上模型。比如说呃最常见的艾和，那当然了艾can和的单纯的跟流体方程结合也可以做一些两相流的问题。但是如果说要做一些更复杂的，比如说我们这里的这种。啊，像这种啊三组分的流动对吧？这种多组分流动，那可能你需要把呃现在我们介绍的向场方程来拓展。那当然有很多文献了，但是我们这个课呢主要是给大家打基础，用包括像这种曲面上的流动，那这个程序就会更复杂对吧？那我们打基础的话呢还是研究一些呃常见的方程，以及它呃最简单最实用。虽然说可能精度理论上精度会比较低，但是无所谓，它是take口的对吧？他可以工作那就行了。那我们研究这种东西，呃，ok那我们呃看一下我们的这个课件啊，因为呃之前给你们推过，但是呢现在没有了，对吧？我们呃重新推一下，比如说。我们第一节课还是讲相场。那什么那比如说我们要介绍相场这个概念，我们就要从一个系统啊出发啊，比如说这个方形的系统我叫做欧米伽，那这是X Y我考虑一个二维空间中的一个系统，欧米伽呢是我的一个区域啊，比如说呃呃一杯水呢，那对吧那水中有气泡，有液体和有气体。那这里呢比如说有个小气泡在里啊，这个气泡里呢我叫要流体fluone，那外面的区域呢叫floid two，比如说fluid one是气泡，哎呀，fluid two是我的水，对吧？那流体一呢有它的自己的质量M1，那流体二呢我们这里考虑的都是不可压缩流体啊，它的质量是M2啊。呃ok那我为了描述这个问题呢，我们希望可以有一个特征函数能够来描述这个系统中流体。同时描述这个系统中流体一和流体二的一个一个动力学。那我们就需要定义，首先定义一个特征函数。这个特征函数呢叫斐，那斐呢它是空间坐标和时间的函数。那我这里的X呢写成一个箭头代表。因为当然对异位空间中的X就是X对吧？因为它只有一个维度，只有一个方向。那二维和三维呢？对于二维我的X就应该等于X Y啊，那同样的啊in 2D要同样的为X等于XYZ3。那我的X Y Z呢就是三维空间，比如说。嗯，三维空间中的X的三个方向的坐标对吧？Ok那T呢就是时间。因为我们考虑的问题，这个它不是一个稳态的问题。就比如说你一个气泡在水中，它可能会上升对吧？它可能会破碎，那这些都是会随着时间和空间变化的。所以说我的特征函数，那这个特征函数在相场里边呢，这个fine呢有的时候也叫order parameter。就就序参数嘛，对吧，序参数啊序参数。那order parameter呢这个特征函数的定义呢，我们可以一种方式，我们就是让我们的order parameter等于我的M1减M2除上M1加M2。那我们刚才说了M1和和M2是我流体一和流体二的质量，对吧？那在这种定义下呢，我就可以得到呢，在流体一中呢我的斐是等于1的那在流铁二中呢的斐呢是等于-1的对吧？因为在流体一中我们知道流体M2是流体二的质量，而我的质己考虑的是互不相容的两个流体。那流体一中所有它这个空间中啊占据的质量都是M1。所以说这个时候M在流体一的这个区域里边，就是这个气泡区域里面，M2是零对吧？那相当于得到的结果就是M1除M1那就是一。那在流体二中呢，同样我也没有这个流体一的质量，所以说就是负的M2除上M2那就是负一。那向场理论呢区别于呃其他的呢，是因为呢呃它是用一个扩散界面来表示我我的这个两个流体的分界。比如说我们还是刚才这个气泡为例，这里有个气泡对吧？我们知道这里边是流体仪，然后外面呢是流体2。那相场呢它就假设在这个流体一和流体2之间呢，它不是呃突然过渡过去的。就比如说这里的质量是M1，ok那突然就过渡到了M2对吧？那不是这样的啊，它是有一个扩散的，就是我用虚线画一下。也就是说呢，在这个虚线的范围内，是我流体一到流体二的一个过渡层。那这个可以假设的看成在物理上，在这个扩散的区域内，在这个过渡区域内，那既有流体一的分子，也有流体二的分子，对吧？虽然说我们向场方法可能它的这个这个过渡层的厚度，它比真实的就是我们考虑这个在分子层面上的厚度要大得多。但是无所谓，这是一个我们合理的一个数学模型。所以说这段区这段两条虚线啊，中间围成的我们叫做diffuse interface。要扩散界面。那在这个扩散界面中呢，我的five的值呢是介于负一和一之间的对吧？因为我要求流体一里边是一呢，流体二里边是负一。那在这个过渡层的话呢，我的这个这个five就是负一光滑的过渡到1。那比如说我们画一个图啊，就是我看一下这个，我我以这条线来作为一个啊切线。那我看那原来是个二维的问题，我做了一个切向之后，我沿着切向去看，这就变成了一维的问题，对吧？那我现在只考虑这段区域啊，那他这个样子长的就大概像这样，也如这里是斐点1，这边是斐点负一，然后呢这段区域当然画的比较大，这是我的diffuse interface。那这个区域内我们可以看到我们的five是光滑的，从呃负一然后过渡到一的对吧？那这也是我们的这个扩散界变方法的一个特点。那与它与之区别呢就是这种sharp interface。那sharp interface呢就是在比如说这边是流体二了啊，还是画一个一维的一个示意图啊。这边是流体一，那流体一的是一，那流体二是负一。那但是这里呢会存在间断啊，就是从一突然就变化到负一。那存在间断的问题呢，当当然在数值求解上呢会带来一些难度。比如说可能会遭遇到一些不稳定对吧？那此外呢计算表面张力，那因为要算梯度，算曲率，那这里也会有一些问题，当然有一些处理方法，但是我们向场可以呃自然的就避免掉这个问题，对吧？这也是相场类模型的一个特点，就是一定存在一个过渡区域啊。啊，那也就是说呢我相场模型中呢我用范啊，那我现在呢我就是用了一个序参数，我就可以啊求解这整个问题。那序参数随时间空间的变化，其实就是描述了我的这个这里边的两种流体物质随着时间和空间的变化。因为我们知道斐等于1的时候，哦，那个地方就是被流体一所占据的那斐等于-1的时候，我们就知道ok那个地方是被流体2所占据的那他们的界面呢那就是斐光滑的从负一过渡到一的那个位置。那所以说斐随着时空的变化就体现了我们流体一流体二在这个区域内随时空的变化。Okay. 我们看一下啊。我们现在考虑一个流体混掺的例子，比如说还是在这个欧米伽的区域内。假设呢我一开始有有很多。比如说我画的这些小圆点是油啊是油，是一个一个的油的液滴啊，那我其他那这里也可能会分散着一些对吧？那我其他的区域呢就像这种空白区域就是水。那我们知道如果说呃我随着时间的一个演化之后呢，这些油呢可能会会聚成一些大的会聚集在一起对吧？形成一些大的区域，然后呢周围这白色的还是水对吧？这个东西就叫做一个象的分离过程。那就是说相同组分的东西会随着时间凝聚到一起，形成那么呃一些大的。然后呢，此外呢这边呢是bulof oil，可以说那这边就是bulof water，这个就是水的爆就形成清晰的的两种物质。那当然了，在这两种物质之间呢，我们知道因为我们要用相场方法来描述它，他们都是存在这种扩散界面的。也就是说在这个虚两条虚线的这个这个区域内啊，我的油和水从物理上我假设它是有这个呃有分子在这里就就是就是混掺的。但是呢我们用相场函数来描述它的时候呢，在这个区域内我的five就是从负一光滑的就过渡到1。那我们在介绍这个相场模型的推导之前呢，我们考虑一个一个叫做he体qui损. Heequ呢它描述的呢是什么呢？它描述的是温度在时间和空间上的一个扩散，对吧？这是那我们看一下细体亏损，假设我这里还用five啊来代表这个hecre的一个序参数，那fine呢在这里我可以把它认为是一个温度temperature。当然这是一个无量钢化的东西。它可以描述的什么呢？He我们求解这个heat亏损我就可以得到。比如说我空间中欧米伽中有一个热源啊，在这里边是高温high temperature，那周围是低温low temperature。那我随着我的时间的演化之后呢，我们知道这个高温的物体，你的热量要向外这样扩散，对吧？那你这个区域内原来高温的这个区域内的温度就要降低，而周围的那些冷空气呢，因为它吸收了由高温的物体往外传来的热量，所以说它的温度就要上升一些。那中间的这块区域的温度呢就要下降一些，那最终嗯达到一个平衡的状态，对吧？那这个问题呢那怎么描述？那我们可以看到在这个过程中，我的温度差就temperature用表示的这个温度。它随着时间每一时刻在每一个空间点处它都是不同的对吧？那所以说呢这个它其实也是一个空间和时间的函数。那我们怎么来描述啊这个five随着时空的变化，就是我们要用的这个hequestion损。那he的推导呢我们可以看到啊，它是先从一个free energy出发，free energy functional. 这个free energy function呢我们可以定义成，那我这里呢我之后我就简写five了。我要知道five是一个时空的函数，但是它的具体的这些自变量我就不不写出来了，就为了方便啊。哎，这个X是这样的对，因为我们考虑是一个一般的维度，二维三维都包含。那所以说呢我的欧米伽可能是一维空间，可能是二维，可能是三维的计算空间。所以说我的X为了一般化，我还是加这么一个一个箭头啊。就是那一维的时候X就等于X 2维X等于X Y 3为X就等于X Y Z对吧？那定义这样的一个free energy呃就function。那么为什么要定义这么个东西呢？我当然我们从物理上定性的看一下啊，这个能量呢首先它肯定是大于等于0的对吧？因为贝积函数是大于等于0的那此外呢这个能量呢呃它是由一个梯度啊梯度的平方。那我们先看啊为什么要有梯度？因为我们说了我们这个物理过程是高温的物体在向低温传递热量，而我的低温的物体的温度也会变化。那在这个过程中我们可以看到啊，初始状态的时候呢，这块区域是高温，那周围是低温。那我们知道一个如果说我用斐来代表温度，那就相当于斐在这个区域和周围区域之间是存在梯度，对吧？因为它的函数值有变化，而我们呢这个最终的物理过程呢是让我们这个内部的温度和外面的温度最后就演化到一个持平的状态了。那我们考虑一个极限的状就是状况，就是说我的如果说我的时间进程足够远，我内部的温度的温度应该变得跟外面一样，对吧？外面可能会升高一点，我内内部就是高温物体区域会降低一点。最终他们是要达到一个平衡状态，也就是内外的温度都一致了。那在这个时候呢，我在整个区域内我的斐呢就变成一个常数函数。而我们知道常数函数是没有梯度的对吧？所以说在这个我们考虑这个物理过程，那这个其实本身就是一个梯度，由存在梯度到梯度逐渐消失的一个过程。那我们这个很自然的，我要描述这个系统的这样的一个演化，我肯定我就要可以定义一个能量。比如说这个能量我就定义成是2分之1梯度的平方，那我加平方呢只是为了让这个能量出现呃不要出现负数嘛，对吧？那2分之1呢当然就是一个系数，呃，因为我这里添添加2分之1是为了我要推导出就是一般形式的，就不带任何mobility参数的一个热方程。那当然了，如果它不是2分之1，是4分之1，那你最终推导出的出的热方程，它的热扩散系数就会有所改变。那我现在是为了推导出一个叫做热扩散系数为一的这么一个呃一个标准的的热方程，对吧？而我定义了这样的一个能量之后，这个能量在初始的时候我可以看到，因为有梯度，所以这个能量是很高的。而我随着我的时间的演化，随着我的物理过程，逐渐的使得高温和低温物体的温度逐渐往持平的状态走，那我这个能量是逐渐降低的。当然我们这里考虑的是没有任何外力啊，或者说外在的温度对这个系统做功没有任何外外面输出的质量啊，那这个时候呢你的系统相当于在自我的演化。那自我的演化呢它的这个能量这个状态是由呃呃高温低温到两个温度持平，那我的这个梯度能量就应该逐渐的下降。因为梯度反映的是一个势嘛，叫potential对或者说叫趋势对吧？我现在是我要使得这个两个温度特别明显，存在明显梯度的这种potential逐渐降低，那我这个势能就应该逐渐降低。那我这样的话，我这样的一个能量才能对我。如果说我让随着时间这个能量在逐渐减小的话，那我就可以描述这样的一个物理过程，对吧？Ok那我们看一下怎么从这个能量推出来我们标准的神。我们刚才也说了啊，这个我们这样的一个能量的定义呢，其实我们叫做free energy functional是范涵的意思。那我这里可以看到啊，什么叫泛函啊，泛函指的是以一种函数来作为输入，那输出为实数的一个映射，对吧？那我这里的函数就是斐呀，斐为什么是函数呢？因为它是时间和空间的自变量啊，不，它是以时间和空间为自变量的一个函数啊，对吧？它斐是函数。那这个能量我们看一下，这个能量我是最最终对2分之1 gradient five的平方做了积分。那这样之后得到的就是一个数，对吧？就是一个值。比如说它是1 2 3 4 5 6 7 8 9 10是个数，它不再是一个函数了，那个数呢它而且是实数域内的一个数，那这个就满足范函的定义对吧？我以函数斐作为输入，那最终我得到的这个E斐它是在实数域内的对吧？那这个是函数，那斐是函数，那E斐就是叫做泛函对吧？那我们要推导啊从范函推导出governing equation啊，那这个东西呢我们就要利用一个工具叫做泛函导数，或者说叫做变粉导数对吧？好，我们看一下，如果说我的嗯利用一个泰勒展开我们的范，如果加上一个H H是一个增量plus赛，是一个任意的光滑函数。这里我写一下，H是increment增量的，哎，H是个数值啊，是个数啊。普赛呢是一个光滑函数，光滑的测试函数test function。那我斐加H就相当于是一个函数加上了另一个函数之后，那得到一个新函数，那我一个新函数作为输入，得到这个这个能量肯定就是呃呃是一个新的一个范函，对吧？那我我们利用它的展开这个范函，我让它在斐处啊一five处进行展开。那我得到的什么？利用它的展开啊，这个地方应该是一。赛然后H赛dx然后加上一个高阶量，还一个高阶的一些量，对吧？这是泰勒张开的那现在呢我们这个是其实就是类似于多变量函数的梯度在函数空间中的推广嘛。就是其实呢呃这个东西呢其实就是一个我们可能微积分钟学过的对函数的泰勒展开的一个自然的推广，就是泛函泰勒展开。呃，我们看一下啊，这个在易翻处进行展开。那首先首项就是易歪对吧？那第二项就是一对five的导数，这个东西呢我们叫做就叫做泛函导数或者说variational grative。然后呢我们呃我们的增量是什么？增量是H赛对吧？然后乘上增量，然后在整个区域内做积分对吧？然后在后面当然会有一些高阶的项啊，那我们为了求这个问题呢，我们我们最终是为了求这个variderivative，那我的高阶项目就可以先把它给忽略掉。高洁想忽略的那我们就得到了。我们当然在这里把高阶像忽略掉是有条件的。这个条件就是我要让limit H趋近于0，对吧？因为你H只有足够小，你的高阶像的影响就很小，那我才可以嗯就是有合合理的把它给给给给给给去掉，对吧？Ok那我们现在把这个把这个等式啊给改写一下，那我们就得到了把H出过来啊，当然我们这里有一个H limit H区间零啊，就得到了这样子的东西。负S D X对吧？那我就得到这样的一个东西。那我现在的一个想法，当然这里啊这个delta这个东西念Delta Delta e five over delta。呃，这个是对范函对函数求导的一个表示方式，我们也叫variderivative啊，这个不用纠结啊，它就是一个delta，就是一个写法，就是学你不要问他为什么不是d over d那这个就是泛这门学科发展的时候的一个定义嘛。因为也是为了跟常通常的函数的导数的那种表示写法，通常一个函数比如five，那它的导数是呃D Y就是over D X或者说partial five，over partial x或者说five prime对吧？为了跟这些区别，我们引入了一个叫ok那我现在我就要看嗯，我既然有这么一个等式，我怎么样通过啊处理我等式的左手边来使得它跟等式的右手边相等的前提下，可以把这个东西给得到。嗯，我们可以把斐加H不塞，然后带进这个能量啊，就是这个这个能量方式的定义中。呃，放到这个这个能量方式的定义中看一下得到什么。那这一步呢其实我就是把斐加H然后代替了那个2分之1归定的斐的积分里面对吧？当然这里我还有一个e five加H减去e five，所以说这两个要相减。那H分之一我就提到积分号外面来，对吧？那我2分之1的Green斐加H plus的平方，其实我可以写成。斐加gredient斐加H赛点乘斐加H赛对吧？为什么要用点乘呢？斐和普赛都是两个标量函数，我对标量做这个，这个叫做梯度gradient是梯度的意思。做了梯度那就变成一个失量对吧？那失量两个失量相乘，那你又要得到一个标量，那只有用点乘对吧？因为我们看这个地方是Green dient的斐加H的模的平方，这个东西是标量这个东西是标量，那你要让它等价，只有这两个相乘得到是个标量才行。所以说必须得是点乘。呃，我还是写一下吧。在这里呢这个gradient five是个标量，对吧？Gradient five的意思就是在二维情况下啊，印2D空间，在二维空间下。就得到的。因为我的斐啊在二维空间下，它是X和Y还有T的导数啊，不，它是X和Y还有T的函数。那这个时候grelient呢是指的是指对空间变量做梯度，它跟时间无关的那所以说我空间变量只有X和Y那grelient指的就是沿着两个方向分别求偏导数。因为我的斐是个多变量函数，所以说它对某一个变量求导的时候呢，要用偏导数啊，就不能写成全导数，就是define over D X那是不对，那就是全导数啊，那最终我得到是个失量对吧？第一个分量是呃这个叫做partial five over partial x第二个分量叫做partial over partial y这个partial呢是一个呃分量，呃，就是求偏导的意思啊。这个可能高年级的本科生啊，就大家都知道，那我那gradient five点乘gradient那就相当于两个矢量点乘是什么呢？点称啊？两个矢量的点乘最终得到的是一个标量，它得到的结果呢我写在这里边啊，就是对应分量相乘，然后相加这里点乘。那我看这里的分量，X方方向上的分量是parfive over x第二个X方向上的分量也是par除over x那他俩相乘那就是平方，然后相加它是负尔，我怕是Y的平方啊，这就是呃矢量啊。点乘的运算规则就是对应的分量相乘，然后求和啊，它最终它得到的是个标量，对吧？Ok那我们接下来继续啊，我把这个等式，我把两个啊这个gradient five模的平方写成gradient five over，呃呃这dot gradient five这个是gradient five H加H dot gradient five加H 3 ok。那当然了，这里边的运算我可以给它展开，对吧？比如说我这里得到。加上H鬼脸的菩萨，简称鬼脸的赛，加上嗯H的平方规定的赛点乘规的赛，当然这个地方有二倍对吧？减去2分之1的归零的反归零菩萨。那我看一下这个地方这个和这个就消掉了对吧？那只剩下这两项。嗯，ok啊因为啊这前面有个2分之1嘛啊对，所以说这个地方应该是2，这个地方没有二嘛。对，ok那我们看一下啊，我现在呢我可以得到一个什么呢？H趋近于0，我把H分之一放进去，那就是归零plus sine点成归零的斐，加上二分之H归零sine点乘归零的s第X但是我现在有个条件，我要让H limit H趋于0，那这个时候这一项就应该消失掉了，对吧？H 10了，那我最终得到的结果就是归plus s点成归零的D X呃，嗯我这里的啊我这里的dx应该加上一些箭头啊，对吧？因为它表示的是分量，它不是代表单独的一个X变量。这个箭头X代表是可能是在二维空间的，就是X Y对吧？应该这样写比较合理一些。哎，到了这一步我们看一下啊，我们利用一下叫做呃这个叫做格林啊啊就是就是第一等式，或者说我们可以就叫做在呃任意空间呃任意维空间内的这个分布积分，对吧？我们得到什么呢？利用一下分布积分啊N。那我这里的这个N呢它是代表的是我。比如说我这里有个计算区域，这个是欧米伽对吧？我要在这个区这个区域呢边上的Y法方向就是Y Y法方向啊是N啊，这是个矢量对吧？比如说这个方向我可以叫做10，我认为这面是X轴的正半轴，这面上面往上是Y轴的正半轴，那直接就01对吧？那你这个方向呢就应该是-10对吧，那这个方向应该是零负Y对吧？是单位嘛单位玩法呃销量，而我利用一下分布积分啊，就integration by part integration。那当然这个我们不是指的是对这个一维函数的啊，是我们可以考虑二维三维都可以，呃，统称是一个一般化的integration by part。那我们现在得到的就是gradient five，就是我把赛的梯度，也就是说对的求导我拿掉对吧？然后呢的原函数乘上gradient five，然后点乘Y法方向。然后在这个这个这个欧米伽，这我们是区域啊，这个区域内是欧米伽，那这个边上我们叫做parti欧米伽代表区域的边上。那在区域边上沿外法方向求导的一个量的一个一个一个一个面积分对吧？然后呢再减去一个，我现在把呃普赛前面的求导拿掉，然后我放到呃这个这个gradient five前面。那我其实这个东西是等于divergence点成gradient five，然后乘上sin。那只是因为呃梯度的divergence等于拉plus five啊，所以说就等到这个写就得到这个形式。那我们推导一下啊，这个写一下啊这个东西。我们知道梯度本身是一个算子，对吧？可以写成这样，也它也可以写成矢量形式。那点乘后面呢是five的梯度啊，可以写成这样子对吧？哦，写不下了，你去这边来。电秤。那我这个这是一个矢量，这也是一个矢量，还是满足矢量点乘对应的分量相乘相加。那这边就是par数方法par说x对吧？X方加上paral方par除y方啊，那这个东西我们叫做呃对于二维啊，我们还是考虑二维二维空间。那三维的话我们知道后面还要再加一个partial five。算了，我等一下写写一下吧。那这个东西就是plus 2维空间中的那所以说在二维空间中呢，我的拉plus斐指的就是我的斐，对X方向求二阶偏导数，然后再加上斐在Y方向上求一个二阶偏导数。那我们写一下，如果说在三维空间是什么样子，那三维空间这个就是partial five呃，partial y还有partial z对吧？这是一个三啊，这是有三个分量的一个向量啊，然后点成一个partial five partial y partial five or partial z那最终你肯定得到的是partial方five partial x方加partial方phpartial y方加上partial方phor partial z方，那这个是三维空间中的一个拉plus。Ok我们还是回到刚才的证明啊，我们在这里呢在这个边界paral欧米伽上呢，我们要利用一个边界条件。比如说这个叫做homo genius woman boundary condition。那我也可以叫它叫做zero嘛under condition。它的意思呢就是说我在边界上，我要让我的函数啊，比如说Green five这个函数沿着边界的Y法向在边界上等于0。也就是说只要在这些边上，我的five的梯度沿着我的Y法方向上的一个点乘啊，它都是零。Ok那这样的话利用那这个东西它反映的就是我们看一下啊，比如说我以这条边为例，这是一条边啊，它的Y法方向是N是10对吧？那我的D我们知道Green dient的两个分量是这个对吧？这个是规定的反应。那他跟它一点乘，我们知道了矢量点乘是对应分量相乘，然后相加，那零乘上parfive over pary那就没有了，是零。那最终我得到的结果其实就是parover part x然后在边界上要等于0对吧？那partial phover partial x那它表示的就是斐这个函数在这个边界上就是在在在这条边上的梯度是等于0的那在这条边上沿着X方向上的梯度等于0是什么意思呢？就代表可以说是我左右两边的函数值是没有变化的对吧？因为你这个区域啊，如果说我以这个区域的边界为分割线，那左右两边的函数斐值存在差异。那我们知道你这个时候，那那当然我们这里是一个很近的概念啊，就是离这条边很近的一点的函数值和另一边的很近的很非常非常近的一点啊。因为数学上考虑一个连续的问题嘛，那如果说函数值有差异，那在这个边界上的梯度就不等于0。那而现在呢就考虑是函数值没有差异就可以使那这个东西叫做homogeneous的。其次的慢边界条件。如果说这个东西不等于0啊不等于0，比如说等于1个任意一个常数贝塔啊，那这个东西就就就它也叫雷曼边界条件，那是不能叫做homogeneous man。Homogeneous man指的一定是等于0啊，那因为它等于0，所以有的时候我们也叫它这个叫做zero满边条件啊。那我利用一下这个边缘条件我利用一下这个边缘条件，我就发现我上面的这里边这一项就消失掉了，对吧？那我最终我得到的结果写的有点乱，最终的得到的结果就是只剩下这个对吧？负的拉plus斐乘上sdx，而我们看一下这个结果是哪儿呢？这个结果其实是这个等式的左边，对吧？那也就是说我现在是它等于应该等于右边，对吧？因为这个等式你要成立嘛。Ok我就得到这样的一个等式。那因为我的普赛呢是一个任意的光滑的测试函数，那这两个积分相等，而普赛又是一个任意光滑的呃测试函数。所以说我就可以得到我的结论就是。对吧那我现在呢就把这个variational derivative这个东西叫做变分导数啊，变分导数就等于负的拉plus five。Ok那我现在呢是把变分导数得到了，那我怎么得到我的heat？我在我这里呢我就要利用一下一个叫做L 2 gradient flow。第第二第二flow l 2梯度流的一个意思呢就是说我的呃因为我们知道我们的这个能量随着在这个通过之前的我的这个物这个物理分析啊，我们知道这个系统的这个potential energy，它应该随着我的状态的演化是逐渐下降的，它是耗散的对吧？那嗯我的能量应该是下降的。因为逐渐逐渐温度就变得没有梯度，所以我的能量应该是下降的那这个时候呢L 2梯度流呢就是说我的函数随着时间的演化。那因为我们的函数它是一个关于时空的一个多变量函数，那要看它随时间的演化，我们就要求偏导数对吧？那它随着时间的演化呢，就应该等于负的。能量梯度下降的方向啊，这也是一个叫做呃利用了一个叫做梯度下降的一个的一个原理啊。负的那那那这个这个这个这个这个variational derivative呢是代表着就是能量的变化嘛，对吧？我加个负号就是代表这个能量也下降的方向。Ok那我现在就得它等plus这个东西就是我的一般形式的这个就是那我们可以看到啊，如果说我把K题规程稍微改写一下，比如说这个东西等于M那M呢可以叫做一个热扩散的率啊，这个叫做diffdiffsion呃derate啊，那这个东西呢在这里我们假设就是一了，对吧？那M如果不是一啊，当然M是可以调的。M增大代表热扩散速率就快，那M如果说小，那代表我的热方程演化的就慢，对吧？那这些呢都是可以呃调整的啊，那我这里呢是为了推导一般形式的热方程。所以说我这里的能量的potential，这energy里面，我这里有人为的有一个2分之1啊，没有2分之1可能推出来的这个derate就可能不是一ok那现在呢我就得到了这么一个体规损。那我嗯L 2梯度流呢它的一个一般表示形式就是我要构造演化方程嘛，就是函数对时间的演化要等于能量的变分，导数的赋值啊，这个叫做这个就是一般形式的一个L 2梯度流的一个构造过程。那也就是说其实我只要把这个变分导数这块给求出来，我带到这个平等式里面。我就可以构造出一个对于一个特定的物理系统的一个演化方程啊，只不过在这里我得到就是一个he亏损。那我们看一下这个heat equation它有个什么性质。因为我们知道heat equation啊它描述的是我随着时间和呃时间的演化，我的啊随着时间的演化，它应该使得我的系统的这个free energy是逐渐降低的那这个东西叫做能量的耗散性和energy distion。这个东西叫做energy station law。也就是说我要让我的能量随时间的导数小于等于0，那就代表着我能量随时间至少它是不增加的对吧？这个叫energy distion。那我们看一下heation是否满足我的energy distion law，嗯，我们怎么做呢？我们对这个he亏损。呃，对方程一啊，我方程一啊，这个是。两边。And taking in. 那我把方程一的两端分别乘上partial five over partial t然后我再做积分，我看我可以得到什么。我们为什么要这么做呢？我们呃慢慢就知道了，这个partial over partial t它要再乘上一个派数five over，那就是派数five over派数T的平方做积分对吧？那左边是什么呢？Gradient five乘上partial five or partial t的积分。我们看一下啊，这个东西呢。首先啊我们看我们可以看到啊啊这个这这边肯定是正的，大于等于0的对吧？因为你这是平方嘛，一个平方的积分肯定也是大于等于0的。我们看一下这个右边部分等于什么。右边呢我是呃对five啊partial five over partial踢球岛啊，那我们呃其实可以这样子，比如说我这样哎叫。哦稍等。那我们就可以把呃对时间的导数先提到外面去，对吧？这是没问题的是吧？Ok你得到了这么一个东西。嗯，ok那得到这样的一个东西之后呢嗯我们看一下啊。哦，不对不对，我说错了，我说错了，应该是这样子，把他提到时间，呃，把时间的导数提到外面对吧？那这里会变译成一个Green方的导数，应该是这样的。因为我们看一下啊，对这个东西我对时间求导的话，我们知道这个时间求导可以放进来，对吧？因为这是对空间的积分，而这个是对时时间的导数。我对它求导之后还是用利用链式法则，那就呃比如说这样写啊。那就应该变成二倍的brilliant five对吧？二倍的brilliant five，二倍的归零的five。然后呢呃乘上partial five over partial t对吧？那这里还有个22和2就约掉了，就变成这种形式了啊。哦，不是哦，不对不对不对，这里还是说还是说错了，应该等于这样的。就是呢首先啊对于这个，我利用一下那个叫做什么嘞，利用一下那个啊分布积分啊，得到什么呢？可以得到gralient five，当然是边界上积分啊，gradient five然后呢。这T与边界Y法相点称乘ds然后减去一个。然后呢，我把这里的gradient拿掉一个，因为这个东西我们刚才说了是这个嘛，对吧？那我把这里的graent拿掉，然后放到后面的之后就变成了一个brilient five点成brilient的partial file or partial t对吧？这一步到这一步是integration by part。嗯，橡皮把擦掉擦掉啊，ok这一步的这一步到这一步是integration by part。Integration by part. Ok那我还是利用一下我的边界条件。因为我们之前说了，边界条件是要求这个东西在边界上等于0，对吧？那这个就消掉了，然后只剩下这个啊负的那我们知道这个首先这里是five对时间球偏导，然后再对空间做梯度，呃，这个可以交换的对吧？我可以得到一个嗯。对吧那我看一下现在是呃t five的梯度，然后对时间求偏导，然后再点成five的梯度，在整个区间内的积分。而这个东西其实它的我们很容易就可以把它原函数找到，其实是什么呢？2分之1呃gradient five的平方对吧？因为你看我这个式子啊，我对时间的导数，我把它拿到积分号里边，这里就是利用列式法则嘛，就可以得到二倍的gradient five，然后点成这一项对吧？所以说这一项很容易就得到这个啊，那我现在呢我要注意一下啊，我现在这里是Green dient five对时间球偏导，为什么呢？因为斐是X Y Z还有T的函数，是时空的函数，所以说它对时间的变化率我要用求偏导数，而我把这个对时间的导数拿到积分号外面之后，我这个东西是对空间做积分了。对空间做完积分之后，那这个整体就只是时间的函数对吧？你空间被积分掉了，所以说呢这里就变成全导数。第呃这个over dt那我把负号再移过去，我就得到什么呢？这个D具体。等于负的。那这肯定是小于等于0，对吧？因为这个积分是大于等于0，那加个负号小于等于0。而这个东西其实就是我们的energy。对所以说我通过我的方程，我也可以反推出我的系统的能量，是一定是随时间是满足这样的耗散性的。因为这个灯方是时间，呃，这个地方是能量，对时间的的导数嘛是小于等于0的对吧？这就是我们这个系统，也就是说梯度流系统呢大部分都满足一个就是能量耗散性啊，那现在就是气体亏损。那我们看一下啊，如果说我们要描述的问题啊不是一个热源的扩散，而我们要描述的是像我们刚才说的啊这些小油滴啊。他们随着时间的演化之后呢，就变成了这些一大坨啊这个这个东西了对吧？那我这个阴影部分画的呢就是我的之前说的扩散界面嘛，对吧？它反映的是我的这个，比如这里边是油啊，这外面白的是水，那油和水之间的一个分界线啊，这个用相场方法来描述，那就叫做扩散界面。那我们知道呃要描述这种问题呢，我们看这个物理过程是啥。首先呢这里要存在一个叫做扩散界面，也就是说我的函数值在这里到这里是光滑的一个过渡，会有这么一个扩散的对吧？它不是一个sharp的。但是此外呢还要明显的看到水和油的分界，就不能说水和油就混在一起了，因为我明显的看到这一边是油，然后然后这边是水，对吧？那就相当于我这个系统是在这个分离和扩散之间，就是在分离啊，我英语写了separation在分离和和我们扩散其实反映的是啥？就像我们刚才说的，我们的温度场由一个由一个高温和低温的环境，逐渐就变成了一个两个温度呃相同的这样的一个稳态。那在这个过程中，我们温度是不是存在着一个混合，就高温混合到低温，低温又混合到高温，这样他们有这种mixing的效应。那mixing其实就是由扩散所导致的啊，所以说对于这种问题，就是这种象分离这种face separation啊face separation对于这种问题来说呢，它既存在separation也存在mixing。所以说他要达到稳态的时候，一定是这两种效果达到一个平衡状态。你才可以像看到这种哎油和水之间有一个过渡界面，这个过渡界面是由是由mixing或者说diffsion效果产生的。而呢但是呢我又可以清晰的看到，哎，这块是水，那块是油，这个就是一个separ那, 我要满足这个呢，我就可以考虑一个不同的方程，就是阿看方程。当然阿兰看方程啊呃它可能最初是来用来描述那个液态合金的一个粗化过程，但是呢呃反正都有类似的一些动力学，那我们这这里就以这个例子为例来引入阿联看方程。阿联看方程是以两个人名命名的，Alan en和k这两个人。艾can方程呢它的自由能啊free energy functional。它也因为它都是梯度流，我或者说我们都叫相场系统啊，这些东西都是由这个一个能量来推导出来的。它的自由能泛涵呢是定义为F Y输上一平方加上。X ok那我们可以看到后面这一项其实就是热方程的，热方程那部分它来反映我的mixing，而前面的这部分就是反映我的separation，我的f five的。我这里给出一个简化的啊，就是最早阿联和can他们推导阿联看方程的时候呢，他们的形式要比这个复杂的多。因为他们是从化学呃物呃从物理化学的角度来推推导的。我们后期呢就是做数学的人或者大家做应用的人发现其实可以用一个很简化的形式。比如说我用一个多项式的是F斐，是斐方减一的完全平方啊，当然我还是提醒一下，我们这里的斐啊也都是时间和空间的函数啊，只是我简写了呃，这里呢我写成这种特别的形式啊，当然这个这里的0.25啊是什么的，这些其实也都是为这个给这个方程就是做一个尺度化的啊，就是只是说大家都经常用，那我们这里就直接采纳这种最常见的形式。那我们看一下，如果说假设我的方程中没有这个mixing这一项，只有这个就是我的呃我说错了。我的能量中，比如说我定义一个叫能量hat，这个hat的能量呢它就等于f five除上一平方D X我们看一下这个能量它为什么说它能起到一个separation的作用呢？就是说我的系统要实现这种分离，那我就要跟刚才的那种就温度的例子，我温度的例子要实现温度的mixing，我就要使得我的自由能降到最小。而同样的我这里要实现我系统就是不同的组分，就是实现这一个分离。那我要使得这个能量降到最小，而这个能量呢我定义这种特别的形式，0.25范方减一的完全平方。那这个时候呢我可以发现当斐等于1的时候，这一部分是等于0的那斐等于-1的时候，这个能量也是这个f five。F five叫做double well potential。这就是一个非线性函数，只是起了个名字叫double potential。那泛点负一它也是最小的，就是它的图像画出来有点像这样子。比如说这个轴是斐吧，这个轴坐标轴是斐，那这是-1至1的地方。那在那这个纵轴是F斐呀，那我们可以看到呃，当斐等于1和负一的时候，我这个F斐是0。那我F斐是0，那我这个能量也就是零，那这个能量自然就是最小的。因为这个F斐的定义就告诉你了，它这个你这个能量只能大于等于0，所以说它最小就是零对吧？而我但是如果说我只单端考虑这个一H这个能量的话，它只能实现一个一个分离对吧？就比如说你初始状态，呃呃，你定义了这样的两个球，哎，那你你你你随着时间的演化，这两个液滴还是保持这样子，因为它要一直保持这样的分离状态嘛。但是呢此外呢如果说只有这个也不会产生扩散界面，因为它会导致成一个sharp的界面，对吧？因为扩我们刚才说了扩散界面，就是你要形成这样的一个扩散界面，它一定要有mixing的效果。所以说这里边我们要把这两个能量进行组合。这样两个能量组合之后啊，当然了它最小不代表它最小，那同样这个最小也不代表第二个最小，但是呢他们可以达到一个平衡状态，使得他们俩组合之后的能量在这种这种balance下是是最小的。这样的话既可以产生这种的油水分离，也可以产生啊这样的一个扩散界面啊，这就是阿联看方程的一个基本的逻辑。让我们推导阿联看呃方程的时候呢，我们还是要用这个自由能啊，比如说在这里呢我就假设这个斐加H 3H还也是个增量啊，普赛是一个光滑函数，还是用我们刚才那一套呃逻辑啊。那H趋近于零啊。这个地方呢还是能量啊对five的变分，然后乘上增量。哎，不是，这里没有这个，然后乘上这个普赛光化函数，然后要使得这个等式成立，我们现在呢只不过要把H呃five加H普赛带入我们现在的这个新的阿联看的能量中。那我们看我们可以得到什么？呃，ok这个因为这个内存问题啊，我基本上录差不多1个小时或者半个小时的时候，我们就听一下，就再录下一段。那我们还是呃从这个呃这个等式出发，我要使得这个等式成立，我们就把斐加H不赛，然后带进这个能量中，我们看我们得到什么。哦，忘记说了一点，就是我的阿联看中这里不是有个ep的平方嘛，对吧？这个ep那这里的ep啊这个Epel是一个小常数，这个ep的大小就控制了我的这个扩。你看我们刚刚才画了一个示意图，这个有扩散界面对吧？Ep越小你的扩散界面就越窄，你ep越大它扩散的这个程度就越大啊，这个ep是用来反映这个扩散程度的。所以说我们实际做问题的时候呢的ep呢要合理的定义啊，之后呃我们讲到一些数值模拟的时候再讲吧。那在这个时候呢，但是ep如果太小了也不行，因为我们呢ep越小，你的扩散区域相当于你的这个区域就越窄。那你做数值模拟，大家都知道，你需要用更多的网格来才能把这块很窄的区域给解析出来。不然你网格大，这段区域就不在这个网格的解析程度之内，那你的模拟肯定就不好，对吧？Ok我们还是回到这个这个推导啊。Okay X X那我们看这个这后面的这部分跟我们刚才推导热方程的最终的结果是一样。对而所以说呢我们这个可以直接写出来，这个我们就不详细推了。后面呢这个应该是一个负的对吧？负的plus sdx。那这个和这个是怎么来的呢？可以看我们之前热方程的推导啊，那我们看一下这部分呃这个东西。嗯，H趋近于零的时候，我可以这样写，对吧？方H斐呃H H赛这里是F斐加H赛减去F斐，然后呢后面再乘上一个sd x。这个没什么问题吧，对吧？我下面乘上一个普赛，上面也要乘上一个铺赛啊。那我呢可以看一下啊，我现在这个是f five加H plus减去f five除上H plus，H plus是个增量，而我现在要令H趋于0，那H趋于零其实就是H plus趋于0，对吧？那所以说这一块我得到的一个结结果啊，我我把它还是写进去啊limit。我们得到的一个是什么结果呢？就是这一块，那H趋于0，H不赛就趋于0。那我现在是令H不s趋近于零的时候，我要求F斐加H plus减F斐除上H plus的一个极限。那这个不就是F F这个这个函数对斐的导数嘛，对吧？我可以写写成f prime啊，当然这下面还有个X平方。那我把它写在一起，我最终就得到了。对吧？那这里F这里啊F这个东西是呃就是D F five over d five，那F是0.25，那就乘上斐方减一的平方，那这里就是斐3次方减斐。那我现在这个东西呢它是等于什么呢？等于啊我们的这个呃D能量对斐的变分导数乘上plus sd x那我这里普赛是一个任意的光滑函数，所以说我就可以得到这个等式要成立。那我所以说我的变分导数应该等于f prime一方减去了plus对吧？就得到这样的。偶尔我还是再利用一下我的梯度流啊，利用L 2的flow的那种做法，approach就是G啊partial five over partial t等于负的淀分导数，那我就可以得到呢。加上对吧？这个呢就是我们的著名的啊这个Alan equation。那也就是说我现在我的初值，如果说我给一些随机数啊，就是这些一些随机的点。那在这些呃这些随机的点啊，这是呢它是介于负一和一之间的那我求解这个方程啊，我就可以得到随着时间的演化，我就形成了这种像的分离。比如说在这里边这阴影部分代表是一种流体，那白色部分代表另一种流体，那中间呢会存在这个扩散界面啊，扩散界面的厚度呢就是由ep来控制，就会呃完成这样的一个相分离base separation。这个就是阿联卡工程。那同样的艾呃艾伦看方程呢也是满足能量耗散性的。还有一个L E N energy，the dissipation flow, the energy dissipation. 那我们为了证明呢，还是我叫这个方程是一吧，我还是啊呃两边两边乘上partial five over partial t然后呢做积分。那我们得到什么呢？这边等式左边还是2数over 2T的平方，然后在整个区内的积分对吧？右边呢得到的就是。呃，partial five over partial t啊对吧？D X. 然后呢这个啊这个就是加上。而这一部分呢我们刚才热方程推导过了，它的结论就这一段的结论就是这个东西就应该等于是负的二分之gradient five平方的积分，对吧？这是刚才我们热方程推导，那只是我我们现在要处理这个。我们看一下我们这个利用链式法则，其实也是很容易得到。我们最终得到的就是一个嗯。Oh sorry, 这里有个d over D T。对吧？你可以反推出来嘛，再加上。负的二分之不一定方D X呃，我们看一下这个啊，我对这一项，我如果说对时间啊对整个积分对时间求导数的话，我们知道时这个是对空间求积分，而我外面是对时间求导。那我把时间导数放到积分号里面也不影响运算对吧？那我最终利用链式法则，我会得到F先对斐求导，然后再让斐对时间求偏导，那最终结果就是这个对吧？就是说它俩是等价的那我还是把负号，我把所有的负号移到等式的这个这个一边啊，那我最终的结果就可以得到，是这样。小于等于0的没错吧？因为啊对那我这个部分呢其实就是我阿连看方程的能量对时间的导数，而能量对时间导数小于等于0，所以说我的艾看方程也是满足我的这个嗯这个这个这个能量耗散性的。当然了我们在这里在边界上啊，我们都默认啊都满足这样的一个其次的man边界条件，当然也可以满足周期边界条件。也就是说周期边界条件是什么意思呢？就是说我在边界的，比如说左右两端，它满足周期边界条件。也就是说在这一点的函数值和在这一点的函数值，比如说这一点的斐和这一点出的斐，它俩只要是这种对着的那它的它的这个这个函数值是一样的，就是周期变现条件啊，比如上下也可以用周期对吧？或者说左右用周期，上下用homogeneous rema都可以啊。那只要是满足这一类或者说周期变现条件，就是满足这种homogeneous边现条件，或者说满足这种周期边现条件的那我们的这个在做分布积分的时候啊，我都可以把呃像这种边界项啊，比如说在这里在这里我们利用到了分布积分，消掉了这个边界项对吧？都可以把它给消掉啊一样。嗯，ok那现在呢我们就得到了L看方程。那但是艾看方程啊它有一个缺点，就是它直接用艾看方程。如果我要做一些流体的模拟，比如说气泡啊、水滴啊呃或者说呃像什么细胞啊这些的这些东西的话呢，它不太合适，因为它不满足质量守恒性。那质量守恒是什么意思呢？就是我在这个区域内啊，我们刚才说了在这个区域内欧米伽内啊，那我的find呢是个特征函数，它就表示了它其实是由两种流体的质量呃的百分比来定义的对吧？那这个f呢呃在一种流体中是一，在一种流体中是负一。那所以说我这整个系统中，我的流体的质量要是没有损失的话，那我的斐啊在整个区域内的总和应该也是不变的。也就是说质量守恒就要求啊这个MaaS conservation。它的意思就是我的five在整个区域内的积分随时间的变化是0。也就是说我的我虽然说我的five在每一个空间点处可能随着时间不一样了，但是我一旦把five沿着整个空间做积分了，那体现的就是在整个空间中的一个总质量，它对时间的导数要等于0，这个才是质量守恒的。而斐对在整个区域内的积分对时间的导数等于0，那也就隐隐含着我两种流体对吧？他们的总质量在就是随着时间也是不发生变化的那整个整个系统就是质量守恒系统。那特别像我们常见的一些流体问题。比如说啊呃一且我们要模拟一个气泡的上升，啊，我们要模拟波浪啊，我们要模拟呃像一个像一个液滴的的的撞击啊，对吧？那这些东西呢我们不希不希望我们特别在不考虑一些人为的干扰，比如说蒸发呀这些条件下，我们希望我们的它的液滴虽然是会运动、会变形、会会分裂、会破裂，但是呢我们不希望它的质量有损失，那这样的话就不符合物理了，对吧？而阿联看呢它恰好不能满足这两守恒性。那我们看一下，我们要满足这量守恒星很容易，我只要需要对阿联看方程两边做积分就可以了。那我这边得到的就是嗯。对吧这就是阿联看方程两边做积分的形式。而这里呢我这个是对时间的导数，这个是对空间的积分，那我可以放到外面，对，放到积分号外面不影响的啊。那第X那这个东西其实就是我的质量，对吧？我们看一下这边等于什么啊？这边等于负的f prime five ep的积分，然后加上啊这个东西积分啊。而这个是什么呢？我们刚才也说了拉plus five其实是gradient fight的散度，那我这里呢我利用一下这个叫做散度定理对吧？Divergence ser我就可以得到。其实这个东西是等于在边界上的梯度沿着外法方向上的一个积分对吧？利用散度定理嘛对吧我一个一个矢量可以写成散度的在整个区内积分的形式。那利用散度定理，那得到的就是不我可以把这个散度的符号去掉。那就是呃这个矢量与外法向上，位于外法方向上的点乘，然后沿着这个区域边界的积分，那我们知道gredient five乘上呃这个dot n在边界上是等于0。所以这项等于0，所以说只剩下这一项对吧？而这一项呢是不等于0的对吧？因为你没有任何条件或者说呃结论能蕴含着我的f prime five除上一平方，在整个区线区间内的积分是零嘛，对吧？所以说这个时候你阿联看方程，它理论上就不能保证质量守恒星。因为我发现我这个质量对时间导数是一个是一个不等于0，是一个一般情况下都不等于0的一个值。那自然质量不守恒，那质量有可能会缩减，有可能会增加，对吧？那所以说呢，我为了啊为了构造一个质量守恒系统。Mice conserved香肠模型。那我的一个其中一个办法呢就是呃呃把这个模型的，我们刚才推导阿联看方程的时候，是先算出来一个变分导数，然后对变分导数前面乘上一个负一啊，对吧？然后就得这个L 2就是梯度流，那就得到了这个呃这个这个这个阿联看方程。那我们现在呢我们考虑一个叫所谓的叫做H负一梯度流。那关于这些命名啊，它是基于一些泛函分析的，里边的东西我们这个不详细讲，我们只讲这个相场方程的推导和应用啊。H负一梯度流呢就是说我这个东西我我这个是我的变分导数，对吧？我前面不乘上负一了，我乘个拉普拉斯，哎，这样的话呢就可以构造成一个质量守恒系统。那我还是考虑我的我的阿联看的那种能量。我们之前推导了我们的这个嗯嗯变分导数是f prime斐乘上X次方减y plus对吧？那我基于这样H负一梯度流呢，我就可以直接得到一个模型就是。这个东西叫做canheated equation，can heated equation看跟阿联看方程比呢，他们都满足能量耗散性，只不过呢它的特点是它可以保证质量守恒。那通常来说啊，我们看啊这里有一个拉plus，这里还有个拉普拉，那你合在一起会出现拉plus的平方。那这样的话对实际计算这个问题来说会带来一些挑战啊。那我们为了这个这个高效，有的时候我们做一个呃就是做一个一个改写啊，我改写这个阿联看一方，就是我引入一个呃我定义一个一个chemical potential，一个叫做化学势能，就是m啊. 那缪呢通常也它也是空间和时间的函数，这个缪其实就是一个辅助量啊一个辅助函数。你可以认为这样子只是说它的名字叫做chemical potential。那我可以把阿连看方程改写为这样的一个形式，对吧？我引入一个辅助函数之后，这原来一个方程我就可以把它拆成俩方程。因为为什么呢？你引入了一个未知量了嘛，对吧？这个函数也是个未知量啊，那你我们知道你一个引入了一个未知量，我比如说我把这后面的所有的东西认为是m的话，那你前面这个东西也就是要有一个拉plus谬。那现在有两个未知量，一个是一个是缪呢，我有两个方程你可以求解两个未知量。那这个其实是我们通常常见的一个卡西列尔的方程的一个版本。这样的方程呢就可以用来做守恒星啊，满足质量守恒的这样的物理过程的模拟。比如说像流体问题对吧？那这个卡西利尔的方程呢它也能满足能量耗散性。比如说我呃对第一个方程啊。然后做积分。Ok然后我就对第一个方程我左右两端乘上缪，然后呢再做积分，那我得到什么呢？这边是plus Mu Mu D X，呃，我这里的缪啊，我规定啊在我整个区欧米伽的边上，这是在这些边上啊。我的缪也是满足啊这个边界的Y法项乘上拉呃乘上gredient m在边界上等于0的啊边界的Y法矢量啊，然后点成我的缪的梯度，在边界上也是等于0的，或者说缪也是满足周期的都可以啊。那我也是做这样的一个规定，那我这个地方呢我利用分布积分我先得到什么呢？嗯，就是有个呃拿出一个，那这里有个缪对吧？有个缪，然后呢呃D S减去一个呃梯度缪啊梯度缪，然后呢梯度缪电成梯度啊缪尔对吧？然后呢呃D X对吧，然后呢利用这个边界条件，这一项是等于0，所以说这里就是负的啊梯度缪尔的平方D X。我们把这个叫做方程星。然后呢，我对第二个方程呢。乘上这个partial five over partial t然后在第二个方程的左右两端，然后我再做积分。那我们得到什么呢？我是不积分对吧？而这个我们刚才其实已经推导过了，这个东西其实就是我们的总能量，对吧？这个刚才推导阿联看方程的时候已经推过了，这个其实就是最终的结果，我就把最终结果写出来就可以，就是总能量，那这个叫方程star star。那我把两个方程合一起呢。那我们就可以得到，你看这两项是相同的那我用后面的这个结果来替换它，那我就得到了我。等于1个这U的平方，dx啊模的平方啊，sorry. Reent缪的模的平方比X而这个东西也是小于等于0的，这个地方也是。那所以说我的凯西里尔的方程也是满足能量耗散性的，他他耗散的能量跟阿联看是一个能量。也就是说其实坎西尔的equation和阿联坎equation本质上它是由同一个能量范涵推出来的。只不过呢我在做能量呃梯度的下降的时候呢，我引入了我在不同的函数空间内做操作，那就得到了不同的方程。啊，就好比一条山，我要从山顶走到山脚下，我有我可以呃弯着走，我我我我我也可以直线的走，对吧？有不同的走法，那就导致了你不同的一个动力学的演化过程。Ok那我们看一下阿啊consider的方程为什么是满足质量守恒的那我们就是对嗯只要是对第一个方程做积分就好了。那我就可以得到一个这样的一个结果。对吧而这边呢是我可以同时我我还是可以把对时间的导数提出来，对吧？那就变成这样子，而这个东西就是质量。而这边呢因为拉普拉斯等于t divergence乘上T度缪D X呃，对，然后呢我再利用一下散度定理对吧？我就可以得到。那这个东西是等于0的，因为我利用边界条件嘛，对吧？就是零利用一下我的boundary condition，然这个地方到这里呢是divergence啊。Ok那我这里呢就利用了我通过引入一个辅助变量，并且我使得我的这个辅助的函数在边界上满足这种homogeneous或者说周期的边界条件。那我这个consider equation就自然的满足了我的质量守恒。也就是说它的质量守恒是由我这个引入的辅助的chemical potential这个函数的性在边界上的度所决定。Ok这是一类啊可以实现这个质量守恒的这个向场的的思路。就是说我把能量泛涵推导出来之后呢，我构造方程的时候呢，我在H负一梯度流的这种策略下来构造，就是在能量范涵前面呈上一个拉plus那还有一种呢还是在L 2的梯度流下构造。然后呢我但是我要加一个拉格朗的橙子。比如说我们回顾我们的阿联看方程。L看方程式嗯写成这样子对吧？我们知道这个东西不满足质量守恒，那我们要让满足这量守恒呢，我就加一个拉格朗日橙子。这个拉格朗日橙子呢只是时间的函数，这样的话我们看一下，我们还是对两边做积分。就现在呢我人为家这么一个东西，我要使得质量守恒的前提下，把这个东西的形式推出来就可以了，对吧？所以说这个形式就不唯一的，因为它不是一个充分必要条件嘛，对吧？加上因为我们知道这个的积分我们刚才推了是零，对吧？因为我的拉格朗日橙子跟空间无关，所以说你对整个空间做积分之后，得到的其实是这个空间的一个面积或体积。这个欧米伽加个加两个竖线代表示啊这个volume，就是说area of欧米伽，我们的计算区域的那这个东西呢是呃我们可以写一下等于D。Sorry. 我们看一下啊，我们要使得这个总质量随时间的导数要等于0，而我们知道这个东西不一定等于0。那如果说我的lg啊这个随着时间所变化的一个拉格朗日橙子，它可以取一个特殊的形式，刚好使得等号的右手边全部等于0，那不就可以了吗？对吧？那所以说我的L G T就应该等于的是嗯。对吧也就是说我的L G T这个拉格朗日橙子只要取这种形式，这个东西是一个拉格朗日橙子只要取这种形式。你看我如果说取这种形式，那我放到这里边，欧米伽和欧米伽约掉这边这个是正的这是负的一小点，那我质量就守恒了。所以说我这个就构成了一个我叫conative连equation，他就能满足质量。说好嗯，看一下啊。我们可以看到这个其实这一项就是我们的这个L G T拉克朗橙子。那我们呢这个地方呢这是一个整这个欧米伽加两个竖线，是整个区域的呃体积或者说面积，而上面呢是对空间的一个整体的积分。那我们知道虽然说这个f prime five是时间和空间的函数，但是你做了积分之后，那空间的变量就没了，那我就只剩下时间了。所以说我整个这一项都是时间的函数，那这个东西呢就能满足质量守恒。那证明呢就刚才我们刚才说的对吧？所以说呢这样子就构成了我的一个守恒形式的阿联看方程。那守恒形式的阿联看方程和列的方程都可以用于呃质量守恒问题的模拟。比如说像流体的模拟都可以用啊，只不过他俩在动力学一些某一些问题的模拟上，可能会导致一些不同的动力学。因为毕竟它俩是在两个不同的呃的的函数空间内的的一个操作嘛，对吧？所以说呢呃呃但是呢就是都可以用啊，在很多问题中他们是可以混用，是工作的很好的。呃，还有一个就是我们强调一下，就是在阿联看方程中啊，我们常见的一一种方法呢是这个一平方啊，是把它放在这里，就是是这样写，减去一次平方，这个就是阿联看方程中，有的时候大部分情况会把这个一平方放到拉普拉斯前面啊。呃这两种写法的不同，但是都叫阿呃呃不呃呃不是阿联看，是卡西列的方程，他们都叫坎西列方程。只不过在这两种不同的操作下呢，你整个方程的动力学会有点不一样。但是在流体中啊，我们常用的是这种啊，但是这种呢我们以这种来形式来作为推导。因为epstone只是个常数，它放到哪里是不影响我们任何的证明的对吧？啊，只是提一下我们之后可能会看到写成这种形式的看系列的方程，那也是很很常见的是一个东西，只不过对方程的动力学进行了一个不同的尺度化啊。Ok那我的守恒型阿联看方程啊是满足我的这个这个质量守恒的那它满不满足能量耗散呢？我们还是可以啊就是。Multiply on so equone equone the whole and taking integral. 就是我现在对这种形式的守恒型阿联看，其实守恒的阿联看有很多很多种形式啊，不止一这一种。而我们这一种是最常见，是最简单的一种。而这一种形式呢它可以保证质量守恒，也可以保证能量耗散。那我们呃呃证明一下能量耗散，比如说我把这个方程两端乘上partial five over partial t做积分啊，同样的这面是平方啊，呃这面呢呃我们就不详细写了啊。因为我们刚才证明R呃，L看方程的的时候呢，我们已经证明过了，对吧？我们已经证明过了，这部分应该是等于啥。这部分其实就是我的总能量，对吧？刚才我们呃负的总能量啊，我们证明阿兰看方程的时候已经证明过了，对吧？你可以参考我们上面写阿兰看方程的证明，那加上这个拉个拉尔T。而我这一项这个lg t呢是指跟时间有关的，所以说它乘上partifive over partit在整个空间内做积分的话，它是可以提到积分号外面的对吧？它不是空间的变量啊，那就是只是对parfive or part t做记分啊。那我把负号移过去啊，负的。这块儿呢是对时间的一个导数能量。对时间导数这个能量呢就是我们阿联看的那个能量啊，而这个是啥？这个东西是ok我写一下吧，L G T. 我们把这个方程改写一下啊。这个我把如果说我可以把呃对时间的偏导数提到积分号外面对吧？这个没问题吧。这个东西不就是我的质量吗？质量啊不是我这个东西，这个积分里面的东西就是我的质量，而这个是质量对时间的导数。而我们刚才说了我们的守恒型阿联看方程，它满足质量守恒的，也就是说它的质量随时间的导数是等于0的，所以说这一项是零对吧？不存在了啊，那就变成了这个东西那小于等于0。所以说我的守恒型I这个艾伦坎方程，就这种形式的守恒型艾can方程，它的能量随时间也是耗散的，并且它耗散的也是阿看方程的能量。只不过我引入了这样一个依赖于时间的拉格朗日橙子之后，我就可以使得原来质量不守恒的问题变成守恒的问题。而呢它跟凯希利的的方程呢都可以用于做守恒型的物理问题的模拟啊，就比如说满足质量守恒的的问题，那他跟阿啊凯希列尔的区别就是你看凯希利的这里我要求两个方程对吧对吧？那我现在呢这个是求一个方程啊，所以说它在数值模拟的操作上会更高效更简单一些啊。所以说在很多流体问题中呢，我们也用这个守恒型的呃艾兰看方程啊，但是有一些问题可能他呃模拟的效果就不如凯西里的好。那我们那个时候就会用凯西里的方程。Ok我们今天呢就讲一下这些关于相场模型基本的相场模型的一个推导。