代数结构上的泛型算法-编程知识

一，半群算法

//半群
class SemiGroup
{
public://枚举只去掉1个数（v.size()>1），剩下的数做p累积运算的结果template<typename T, typename Tfunc>static vector<T> allExceptOne(vector<T>& v, Tfunc p) {vector<T>left(v.size() - 1), right(v.size() - 1);T x = v[0];for (int i = 1; i < v.size(); i++)left[i - 1] = x, x = p(x, v[i]);x = v.back();for (int i = int(v.size()) - 2; i >= 0; i--)right[i] = x, x = p(v[i], x);vector<T>ans(1, right[0]);for (int i = 0; i < left.size() - 1; i++)ans.push_back(p(left[i], right[i + 1]));ans.push_back(left.back());return ans;}
};

力扣 2003. 每棵子树内缺失的最小基因值

有一棵根节点为 0 的 家族树 ，总共包含 n 个节点，节点编号为 0 到 n - 1 。给你一个下标从 0 开始的整数数组 parents ，其中 parents[i] 是节点 i 的父节点。由于节点 0 是根，所以 parents[0] == -1 。

总共有 105 个基因值，每个基因值都用 闭区间 [1, 105] 中的一个整数表示。给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，其中 nums[i] 是节点 i 的基因值，且基因值 互不相同 。

请你返回一个数组 ans ，长度为 n ，其中 ans[i] 是以节点 i 为根的子树内缺失的最小基因值。

节点 x 为根的子树包含节点 x 和它所有的后代节点。

示例 1：

输入：parents = [-1,0,0,2], nums = [1,2,3,4]
输出：[5,1,1,1]
解释：每个子树答案计算结果如下：
- 0：子树包含节点 [0,1,2,3] ，基因值分别为 [1,2,3,4] 。5 是缺失的最小基因值。
- 1：子树只包含节点 1 ，基因值为 2 。1 是缺失的最小基因值。
- 2：子树包含节点 [2,3] ，基因值分别为 [3,4] 。1 是缺失的最小基因值。
- 3：子树只包含节点 3 ，基因值为 4 。1是缺失的最小基因值。

示例 2：

输入：parents = [-1,0,1,0,3,3], nums = [5,4,6,2,1,3]
输出：[7,1,1,4,2,1]
解释：每个子树答案计算结果如下：
- 0：子树内包含节点 [0,1,2,3,4,5] ，基因值分别为 [5,4,6,2,1,3] 。7 是缺失的最小基因值。
- 1：子树内包含节点 [1,2] ，基因值分别为 [4,6] 。 1 是缺失的最小基因值。
- 2：子树内只包含节点 2 ，基因值为 6 。1 是缺失的最小基因值。
- 3：子树内包含节点 [3,4,5] ，基因值分别为 [2,1,3] 。4 是缺失的最小基因值。
- 4：子树内只包含节点 4 ，基因值为 1 。2 是缺失的最小基因值。
- 5：子树内只包含节点 5 ，基因值为 3 。1 是缺失的最小基因值。

示例 3：

输入：parents = [-1,2,3,0,2,4,1], nums = [2,3,4,5,6,7,8]
输出：[1,1,1,1,1,1,1]
解释：所有子树都缺失基因值 1 。

提示：

n == parents.length == nums.length
2 <= n <= 105
对于 i != 0 ，满足 0 <= parents[i] <= n - 1
parents[0] == -1
parents 表示一棵合法的树。
1 <= nums[i] <= 105
nums[i] 互不相同。

思路：

2次dfs

第一次dfs，把每颗子树的所有节点的最小值算出来。

第二次dfs，根据父节点的最小缺失值，算出所有子节点的最小缺失值。

具体来说，子节点的最小缺失值是3个值的最小值，这3个分别是父节点的最小缺失值、父节点的值、所有兄弟节点及其子节点的最小值。

class Solution {
public:vector<int> smallestMissingValueSubtree(vector<int>& parents, vector<int>& nums) {int n = parents.size();sons.resize(n);mins.resize(n);ans.resize(n);for (int i = 1; i < parents.size(); i++)sons[parents[i]].push_back(i);getMin(nums, 0);map<int, int>m;for (auto x : nums)m[x]++;int minMiss = 1;while (m[minMiss])minMiss++;dfs(nums, 0, minMiss);return ans;}
private:int getMin(vector<int>& nums,int id) {int ans = nums[id];for (auto son : sons[id])ans = min(ans, getMin(nums, son));return mins[id]=ans;}void dfs(vector<int>& nums,int id,int miss) {ans[id] = miss;miss = min(miss, nums[id]);if (sons[id].size() <= 1) {for (auto son : sons[id])dfs(nums, son, miss);return;}vector<int>sonMin;for (auto son : sons[id])sonMin.push_back(mins[son]);auto otherMin = SemiGroup::allExceptOne(sonMin, [](int a, int b) {return min(a, b); });for (int i = 0; i < sons[id].size(); i++) {dfs(nums, sons[id][i], min(miss, otherMin[i]));}}
private:vector<vector<int>>sons;vector<int>mins;vector<int>ans;
};

力扣 2680. 最大或值

给你一个下标从 0 开始长度为 n 的整数数组 nums 和一个整数 k 。每一次操作中，你可以选择一个数并将它乘 2 。

你最多可以进行 k 次操作，请你返回 nums[0] | nums[1] | ... | nums[n - 1] 的最大值。

a | b 表示两个整数 a 和 b 的 按位或 运算。

示例 1：

输入：nums = [12,9], k = 1
输出：30
解释：如果我们对下标为 1 的元素进行操作，新的数组为 [12,18] 。此时得到最优答案为 12 和 18 的按位或运算的结果，也就是 30 。

示例 2：

输入：nums = [8,1,2], k = 2
输出：35
解释：如果我们对下标 0 处的元素进行操作，得到新数组 [32,1,2] 。此时得到最优答案为 32|1|2 = 35 。

提示：

1 <= nums.length <= 105
1 <= nums[i] <= 109
1 <= k <= 15

思路：

k次操作一定会用完，而且一定会加在同一个数上，所以只需要枚举除了这个数之外，其他的数的或运算总结果。

或运算是环非域，但是这里只需要用到半群的结合性。

class Solution {
public:long long maximumOr(vector<int>& nums, int k) {if (nums.size() == 1)return nums[0] << k;auto x = SemiGroup::allExceptOne(nums, [](int a, int b) {return a|b; });long long ans = 0;for (int i = 0; i < x.size(); i++)ans = max(ans, ((long long)nums[i] << k) | x[i]);return ans;}
};