第4章 随机变量的数字特征

4.1数学期望

一、离散型随机变量的数学期望

定义1设离散型随机变量X的概率分布为 P{X=x_i}=p_i,i=1,2,…,如果级数绝对收敛，则定义X的数学期望（又称均值）为

二、连续型随机变量的数学期望

定义2设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x).如果f_-∞^+∞xf(x)dx 绝对收敛，则定义X的数学期望为
E(X)=f_-∞^+∞xf(x)dx

三、随机变量函数的数学期望

• 定理1：设X是一个随机变量，Y=g(X),且E(Y)存在，于是
  (1)若X为离散型随机变量，其概率分布为
  P{X=x_i}=p_i,i=1,2,…,
  则Y的数学期望为
  
  (2)若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则Y的数学期望为
  E(Y)=E[g(X)]=f_-∞^+∞g(x)f(x)dx. (1.4)
• 定理2：设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y),且E(Z)存在，于是
  (1)若(X,Y)为离散型随机变量，其概率分布为
  P{X=x_i,Y=y_i}=p_ij(i,j=1,2,…),
  则Z的数学期望为
  
  (2)若(X,Y)为连续型随机变量，其概率密度为f(x,y),则Z的数学期望为
  E(Z)=E[g(X,Y)]=f_-∞^+∞f_-∞^+∞g(x,y)f(x,y)dxdy. (1.6)

四、数学期望的性质

性质1若C是常数，则E( C)=C.
性质2若C是常数，则E(CX)=CE(X),
性质3E(X₁+X₂)=E(X₁)+E(X₂)

性质4设X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y):
X和Y相互独立，f(x,y)=f_X(x)·f_Y(y),
**

4.2方差

一、方差的定义

• 定义1设X是一个随机变量，若E[X-E(X)]²存在，则称它为X的方差，记为
  D(X)=E[X-E(X)]².
  注：符号D(X)有时简写为DX.同样，对于连续型随机变量也是这样规定
• 方差的算术平方根√D(X)称为标准差或均方差.它与X具有相同的度量单位.
  注：方差刻画了随机变量X的取值与数学期望的偏离程度，它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性
• 从方差的定义易见：
  (1)若X的取值比较集中，则方差较小；
  (2)若X的取值比较分散，则方差较大；
  (3)若方差D(X)=0,则随机变量X以概率1取常数值，此时，X也就不是随机变量了.

二、方差的计算

若X是离散型随机变量，且其概率分布为

若X是连续型随机变量，且其概率密度为∫(x),则

由数学期望的性质，易得计算方差的一个简化公式：
**D(X)=E(X²)-[E(X)]²

• 0-1分布
  
• 泊松分布
  
• 均匀分布
  
• 二项分布
  
• 正态分布
  
• 标准正态分布
  

三、方差的性质

性质1：设C为常数，则D©=0.
D(X+C)=D(X)
性质2：设X是随机变量，若C为常数，则
D(CX)=C² D(X)
性质3：若X,Y相互独立，则
D(X±Y)=D(X)+D(Y)

4.3 协方差与相关系数

*八、n维正态分布的几个重要性质

(2)n维随机变量(Xi,X2,…,Xn)服从n维正态分布的充分必要条件是X1,X2,…,Xn的任意线性组合C1X1+C2X2+…+CnXn均服从一维正态分布（其中C1,C2，…，Cm不全为零)
(3)若(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布，设Y1,Y2,…,Yk是Xj(j=1,2,…,n)的线性函数，则(Y1,Y2,…,Yk)服从k维正态分布.

4.4大数定律与中心极限定理

一般的大数定律讨论个随机变量的平均值的稳定性

一、切比雪夫(Chebyshev)不等式

定理1设随机变量X的期望E(X)=μ,方差D(X)=σ²,则对于任意给定的正数ε,有

这个不等式称为切比雪夫不等式

切比雪夫不等式也可以写成

切比雪夫不等式表明：随机变量X的方差越小，则事件{|X-μ|<ε}发生的概率越大，即X的取值基本上集中在它的期望μ附近

• 在方差已知的情况下，切比雪夫不等式给出了X与它的期望u的偏差不小于的概率的估计式，如取ε=3σ，则有
  
  于是，对任意给定的分布，只要期望和方差存在，则随机变量X取值偏离μ超过3倍均方差的概率小于0.111.
  

二、大数定律

定理2设随机变量X,X2,…,Xn,…相互独立，且具有相同的期望和方差：
E(X)=μ,D(X)=σ²,i=1,2,….
记频率,则对任意ε>0，有

证明

由切比雪夫不等式，得

令n→oo,再注意到概率不可能大于1，由夹逼定理可得结论。

三、中心极限定理

在实际问题中，许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响形成的，其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的.这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布.

• 定理3：(独立同分布的中心极限定理)：设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，服从同一分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ²(i=1,2,…),则
  
  左边的分布函数近似右边标准正态分布

• 正态分布, N(μ,nσ²)， 其标准正态分布

• 正态分布, , 其标准正态分布

• 例2一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g,标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率.
  解：设X_i,为第i个螺丝钉的重量，i=1,2,…,100,且它们之间独立同分布，于是，一盒螺丝钉的重量为,而且
  μ=E(Xi)=100,σ=√D(Xi)=10,n=100.
  由中心极限定理有
  
  即一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率为0.0228.

• 例5某市保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔偿金.己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险，问保险公司一年内从此项业务中所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率是多少？
  解记
  于是，X:均服从参数为p=0.005的两点分布，P{X_i=1}=0.005，np=25是5000个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数，保险公司一年内从此项业务中所得到的总收益为
  万元.所以