1、背景描述

逻辑回归本身只能用于二分类问题，如果实际情况是多分类的，那么就需要对模型进行一些改动。下面介绍三种常用的将逻辑回归用于多分类的方法

2、One vs One

OvO（One vs One）方法是指从多个类别中任意抽取出两个类别，然后将对应的样本输入到一个逻辑回归的模型中，学习到一个对这两个类别的分类器，然后重复以上的步骤，直到所有类别两两之间都学习到一个分类器

简单来说，就是让不同类别的数据两两组合训练分类器

例如，对于3分类问题，分类器的数量为$C_3^2$=3个，即可以得到3个二元分类器

分类器的数量可以使用$C_k^2$计算，其中$k$代表类别的数量

在预测阶段，只需要将测试样本分别输入训练阶段训练好的3个分类器进行预测，最后将3个分类器预测出的结果进行投票统计，票数最高的结果为预测结果

例如，下面的3分类问题：

上图（从左到右）分别为三角形与十字星训练出的分类器、三角形与正方形训练出的分类器和正方形与十字星训练出的分类器

现在，我们有一个在红色圆圈位置的数据，如下图，通过上述方法，我们如何预测的这个数据是哪一类？

将新样本分别输入训练好的3个分类器：第一个分类器会认为它是一个十字星，第二个分类器会认为它偏向三角形，第三个分类器会认为它是十字星，经过3个分类器的投票之后，可以预测红色圆圈位置所代表的数据的类别为十字星

任何一个测试样本都可以通过分类器的投票选举出预测结果，这就是OvO（One vs One）的运行方式

在OvO的方法中，当需要预测的类别变得很多的时候，那么我们需要进行训练的分类器也变得很多了，这将大大提高训练开销。但是，每一个训练器中，我们只需要输入两个类别对应的训练样本

3、One vs Rest

OvR（One vs Rest）方法从所有类别中依次选择一个类别作为1，其他所有类别作为0，来训练分类器，因此分类器的数量要比OvO的数量少得多

简单来说就是，对n种类别的样本进行分类时，分别取一种样本作为一类，将剩余的所有类型的样本看做另一类，这样就形成了n个二分类问题

例如，对于三分类问题，分类器的数量为3个，对于四分类问题，分类器的数量为4个。分类器的数量实际上就是类别的数量

在预测阶段，只需要将测试样本分别输入训练阶段训练好的3个分类器进行预测，最后将3个分类器预测出的结果进行投票统计，预测结果的确定，是根据每个分类器对其对应的类别为1的概率进行排序，选择概率最高的那个类别作为最终的预测类别

例如，下面的三分类问题：

上图（从左到右）分别为三个分类器，分类器1认为是A的概率为0.7，分类器2认为是B的概率为0.3，分类器3认为是C的概率为0.2，因此，最终的预测结果为A

4、从Sigmoid到Softmax的推导

第三种方法，我们可以直接从数学上使用Softmax函数来得到最终的结果，而Softmax函数与Sigmoid函数有着密不可分的关系，它是Sigmoid函数的更一般化表示，而Sigmoid函数是Softmax函数的一个特殊情况

在之前的文章（详见：传送门）中，我们已经推出了线性回归的结果等于对数几率（log odds），也称logit函数
$$logit(P)=\ln \frac{P}{1-P}={\omega }^{T}x$$

分子表示一个事件发生的概率，分母代表这个事件不发生的概率，两者的和为1

当我们面对的情况是多个分类时，可以让k-1个类别分别对剩下的那个类别做回归，即得到k-1个logit公式
$$\ln \frac{P(Y=c_i|x)}{P(Y=c_k|x)}={\omega }_i^{T}x(i=1,2,...k-1)$$

于是
$$P(Y=c_i|x)=P(Y=c_k|x)e^{{\omega }_i^{T}x}$$

由于所有类别的可能性相加为1，因此可以得到
$$P(Y=c_k|x)=1-\sum _{i=1}^{k-1}P(Y=c_i|x)=1-\sum _{i=1}^{k-1}P(Y=c_k|x)e^{{\omega }_i^{T}x}$$

通过解上面的方程，可以得到关于某个样本被分类到类别$c_k$的概率为
$$P(Y=c_k|x)=\frac{1}{1+{\sum }_{i=1}^{k-1}{e}^{{\omega }_i^{T}x}}$$

这就是我们的Softmax函数了

参考文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/463149304