看严蔚敏版《数据结构》写出了折半查找的平均查找长度公式（如下图），但没有具体推导过程

所以我自己推导了一遍，用这篇文章把思路写下来

假设折半查找判定树为满二叉树，结点数$n$，高度$h$

由满二叉树的性质可知$n=2^h-1$，移项得$2^h=n+1，$取对数得高度$h=lo{g}_2(n+1)$

根据满二叉树的性质，第1层有$2^{1-1}=1$个结点（根节点），第2层有$2^{2-1}=2$个结点，第3层有$2^{3-1}=4$个结点 …… 第h层有$2^{h-1}$个结点

先假设查找各结点是等概率的，那么计算平均查找长度其实上就是计算总比较次数，然后乘以概率

因为折半查找判定树查找成功的过程刚好是从根节点到被查结点的路径

所以折半查找判定树中 $结点的比较次数=结点所在层数$

既然 $结点的比较次数=结点所在层数$，那么一层中所有结点的比较次数都相等（等于层数），所以可以逐层计算并相加得出 总比较次数

第1层，有$2^{1-1}=1$个结点。所以第1层的比较次数=层数$\times$该层结点个数=$1\times 2^{1-1}$

第2层，有$2^{2-1}=2$个结点。所以第2层的比较次数=层数$\times$该层结点个数=$2\times 2^{2-1}$

第3层，有$2^{3-1}=4$个结点。所以第3层的比较次数=层数$\times$该层结点个数=$3\times 2^{3-1}$

……

第h层，有$2^{h-1}$个结点。所以第h层的比较次数=层数$\times$该层结点个数=$h\times 2^{h-1}$

将所有层的比较次数相加可得，总比较次数=$1\times 2^{1-1}+2\times 2^{2-1}+3\times 2^{3-1}+\dots \dots +h\times 2^{h-1}$，可写为累加式$\sum _{j=1}^{h}j\cdot 2^{j-1}$

因为等概率且有$n$个结点，所以概率就是$n$的倒数=$\frac{1}{n}$

所以平均查找长度=概率$\times$总比较次数=$\frac{1}{n}\sum _{j=1}^{h}j\cdot 2^{j-1}$

再看《数据结构》给出的公式，平均查找长度$ASL=\sum _{i=1}^n{p}_i\cdot c_i$

这个累加式是按每个结点来计算，从1到$n$个结点，用结点的概率 $\times$ 该结点的比较次数，但缺点是不方便计算

所以前面的推导其实是转换思路，改为按每层计算，两种计算方式都会把结点过一遍，二者是等价的

即$ASL=\sum _{i=1}^n{p}_i\cdot c_i=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^{h}j\cdot 2^{j-1}$

现在重点就转到如何计算总比较次数$\sum _{j=1}^{h}j\cdot 2^{j-1}$

其实这就是高中数学的复合数列 { h ⋅ 2 h − 1 } \{h \cdot 2^{h-1}\} {h⋅2h−1}求和

前面是首项为1，公差为1的等差数列，乘以后面首项为1，公比为2的等比数列

* 等比数列求和公式$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$

复合数列求和的计算思路与等比数列相同（乘公比，错位相减）

$$\begin{array}{rl}{S}_h& =1\times 2^{1-1}+2\times 2^{2-1}+3\times 2^{3-1}+\dots \dots +h\times 2^{h-1}\\ 2S_h& =1\times 2^{2-1}+2\times 2^{3-1}+\dots \dots +(h-1)\times 2^{h-1}+h\times 2^h\\ & \\ 2S_h-S_h& =(-1)\times 2^{1-1}+(1-2)\times 2^{2-1}+(2-3)\times 2^{3-1}+\dots \dots +(h-1-h)\times 2^{h-1}+h\times 2^h\\ & =(-1)\times 2^0+(-1)\times 2^1+(-1)\times 2^2+\dots \dots +(-1)\times 2^{h-1}+h\times 2^h\\ & =(-1)\times (2^0+2^1+2^2+\dots \dots +2^{h-1})+h\times 2^h\\ & =(-1)\times \frac{2^0(1-2^h)}{1-2}+h\times 2^h\\ & =(-1)\times \frac{1\cdot (1-2^h)}{-1}+h\times 2^h\\ & =1-2^h+h\times 2^h\\ & =1+(-1+h)\times 2^h\\ S_h& =(h-1)2^h+1\end{array}$$

所以得出总比较次数$S_h=(h-1)2^h+1$

但是题目一般给出的是结点数$n$，并不会给高度$h$，所以还需要把$h$替换掉

本文最前面已经得出 $h=lo{g}_2(n+1)$，所以可以用这个表达式替换$h$

* 解释一下如何替换，根据对数定义$a^{lo{g}_{a}b}=b$，所以$2^{lo{g}_2(n+1)}=n+1$

$$\begin{array}{rl}{S}_h& =(h-1)2^h+1\\ & =[lo{g}_2(n+1)-1]2^{lo{g}_2(n+1)}+1\\ & =[lo{g}_2(n+1)-1](n+1)+1\\ & =(n+1)lo{g}_2(n+1)-(n+1)+1\\ & =(n+1)lo{g}_2(n+1)-n-1+1\\ & =(n+1)lo{g}_2(n+1)-n\end{array}$$

所以总比较次数$\sum _{j=1}^{h}j\cdot 2^{j-1}=(h-1)2^h+1=(n+1)lo{g}_2(n+1)-n$

所以平均查找长度=概率$\times$总比较次数$$\begin{array}{rl}ASL=\sum _{i=1}^n{p}_i\cdot c_i=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^{h}j\cdot 2^{j-1}& =\frac{1}{n}[(n+1)lo{g}_2(n+1)-n]\\ & =\frac{n+1}{n}lo{g}_2(n+1)-\frac{n}{n}\\ & =\frac{n+1}{n}lo{g}_2(n+1)-1\end{array}$$

折半查找的平均查找长度$ASL=\frac{n+1}{n}lo{g}_2(n+1)-1$