椋鸟数据结构笔记#8：二叉树的遍历、创建与销毁-编程知识

萌新的学习笔记，写错了恳请斧正。

链式二叉树

这篇笔记我们讨论基于链式二叉树，其节点的数据结构如下：

typedef int BTDatatype;typedef struct BTNode
{BTDataType data;struct BTNode* left;struct BTNode* right;
} BTNode;

二叉树的遍历

先了解关于二叉树的遍历再去了解二叉树的创建会更轻松一点。

二叉树的遍历基本分两类，一类是深度优先的，另一类是广度优先的。

对于深度优先的遍历，又分为前序遍历、中序遍历、后序遍历；对于广度优先的遍历，只有层序遍历。

前序遍历（PreOrder Traversal）

从根节点开始，对于每一个子树，先访问其根节点，再访问其左子树和右子树。

比方说，对于下面这个二叉树：

在这里插入图片描述

所以最终节点的访问顺序为：

1–>2–>3–>N–>N–>N–>4–>5–>N–>N–>6–>N–>N

下面这张图可能更直观些：

在这里插入图片描述

下面给出其实现（递归的思想）：

void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}printf("%c ", root->data);BinaryTreePrevOrder(root->left);BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

中序遍历（InOrder Traversal）

中序遍历对每一个子树则是先访问其左子树，随后是根节点和右子树。

对于上方的示例，如果用中序遍历，顺序就会变为：

N–>3–>N–>2–>N–>1–>N–>5–>N–>4–>N–>6–>N

下面给出其实现：

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}BinaryTreeInOrder(root->left);printf("%c ", root->data);BinaryTreeInOrder(root->right);
}

后序遍历（PostOrder Traversal）

同理，后序遍历就是最后访问根节点，对于上例的顺序为：

N–>N–>3–>N–>2–>N–>N–>5–>N–>N–>6–>4–>1

下面给出其实现：

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}BinaryTreeInOrder(root->left);BinaryTreeInOrder(root->right);printf("%c ", root->data);
}

层序遍历（LevelOrder Traversal）

层序遍历就是逐层的一个一个元素遍历，与前几个一条路走到底再拐回来的遍历方式不同。

想要实现二叉树的层序遍历，就不仅仅是递归这么简单了，我们需要借助之前学的数据结构：队列。

层序遍历的步骤：

初始化队列： 首先，将根节点放入队列中。
遍历队列： 当队列不为空时，重复以下步骤：
- 从队列中取出一个元素（节点）。
- 访问这个节点。
- 如果这个节点有左子节点，则将左子节点放入队列。
- 如果这个节点有右子节点，则将右子节点放入队列。

通过这种方式，可以保证每个节点都按照层序被访问一次，同时每个节点只会被放入队列一次，从而实现二叉树的层序遍历。

对于这个方法的理解，ChatGPT给出了一个比较生动的例子：

想象一下，你在组织一场大型的派对游戏，游戏的目标是确保每个人都能按顺序获得一个气球。派对的参与者按照到达的顺序站成一列，每个人都可能带着一两个朋友。在这个比喻中，每个参与者就像是树中的一个节点，他们带来的朋友分别对应于这个节点的左右子节点。

开始游戏： 游戏开始时，你手里只有一个气球，而第一个参与者（对应于树的根节点）站在你面前。你将这个气球给了他，并询问是否有朋友一起来。他回答说带了两个朋友（左右子节点）。
组织队列： 为了管理游戏的顺序，你拿出一个大篮子（对应于队列），让第一个参与者的朋友们按照他们被介绍的顺序站到篮子后面。现在，篮子里有两个人在等待气球。
进行派对游戏： 接下来，你从篮子（队列）的前端取出一个人（节点），给他一个气球，并询问他是否也有带朋友来。如果有，他的朋友们也按顺序加入到篮子的末尾。
重复步骤： 按照这个流程，你一直重复，总是从篮子的前端取人，给他气球，然后将他的朋友们（如果有的话）加入到篮子的末尾。

通过这个过程，每个参与者都会按照他们到达派对的顺序获得气球。同样地，在二叉树的层序遍历中，我们利用队列这一数据结构，确保了每个节点都能按照它们在树中的层级顺序被访问。就像在游戏中一样，通过不断地将朋友（子节点）加入队列并按顺序访问，我们能够遍历树中的每一个节点，从而实现层序遍历。

下面给出其实现：

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root != NULL){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front->_left != NULL){printf("%c ", front->_data);QueuePush(&q, front->_left);QueuePush(&q, front->_right);}else{printf("NULL ");}}printf("\n");QueueDestory(&q);
}

二叉树的创建与销毁

我们以一道题为例：

编一个程序，读入用户输入的一串先序遍历字符串，根据此字符串建立一个二叉树（以指针方式存储）。例如如下的先序遍历字符串： ABC##DE#G##F### 其中“#”表示的是空格，空格字符代表空树。建立起此二叉树以后，再对二叉树进行中序遍历，输出遍历结果。

有了前面的内容这里就很好完成了，实现如下：

BTNode* BuyBTNode(BTDataType x)
{BTNode* new = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (new == NULL){perror("malloc");exit(EXIT_FAILURE);}new->_data = x;new->_left = NULL;new->_right = NULL;return new;
}BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi)
{if (*pi >= n || a[*pi] == '#') {(*pi)++; // 跳过当前的'#'或越界的元素return NULL;}BTNode* root = BuyBTNode(a[(*pi)++]);root->_left = BinaryTreeCreate(a, n, pi);root->_right = BinaryTreeCreate(a, n, pi);return root;
}

而二叉树的销毁就更加简单了：

void BinaryTreeDestroy(BTNode** root)
{if (*root == NULL){return;}BinaryTreeDestroy(&(*root)->_left);BinaryTreeDestroy(&(*root)->_right);free(*root);*root = NULL;
}

其他二叉树相关

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}return 1 + BinaryTreeSize(root->_left) + BinaryTreeSize(root->_right);
}
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}if (root->_left == NULL && root->_right == NULL){return 1;}return BinaryTreeLeafSize(root->_left) + BinaryTreeLeafSize(root->_right);
}
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{if (root == NULL){return 0;}if (k == 1){return 1;}return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->_right, k - 1);
}
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL){return NULL;}if (root->_data == x){return root;}BTNode* ret = BinaryTreeFind(root->_left, x);if (ret != NULL){return ret;}return BinaryTreeFind(root->_right, x);
}
// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root != NULL){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front == NULL){break;}QueuePush(&q, front->_left);QueuePush(&q, front->_right);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front != NULL){QueueDestroy(&q);return 0;}}QueueDestroy(&q);return 1;
}