P9565 [SDCPC2023] Not Another Path Query Problem
位运算+并查集
从价值至少为 \(V\) 入手，枚举一段二进制上长为 \(i\) 的前缀，第 \(i+1\) 位取 \(1\)，并且比 \(V\) 要大，这样 \(i+1\) 之后的位就可以任意取了（不妨现在都先为 \(0\)），设这样构成的二进制串为 \(s\)。
考虑按位与的性质，随着路径增加，价值不增。并且如果想要二进制上其中一位为 \(1\)，那么路径上所有边的二进制上这一位都得是 \(1\)。回到上面枚举的 \(s\)，不妨固定我们需要 \(s\) 上的所有 \(1\)，那么满足条件的边就是二进制上至少有这些 \(1\) 的边。这些边集与所有点构成一张新的图，如果 \(u\) 和 \(v\) 在这张图上连通，那么就可以找到一条满足条件的路径，使得价值 \(\ge s\ge v\)。
判断连通性，用并查集。最多有 \(60\) 个边集，只需要其中一个连通即可。记得开 longlong！
复杂度 \(O(m\log n)\)。
#include <bits/stdc++.h>
#define pii std::pair<int, int>
#define mk std::make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_backusing i64 = long long;
using ull = unsigned long long;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 5e5 + 10;
i64 n, m, q, V;
struct node {i64 u, v, w;
} e[N];
std::vector<int> v[61];
struct DSU {int fa[N];void init(int n) {for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;}int find(int x) {return x != fa[x] ? fa[x] = find(fa[x]) : fa[x];}void merge(int x, int y) {if(x == y) return;fa[x] = y;}
} dsu[61];
int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);std::cin >> n >> m >> q >> V;for(int i = 1; i <= m; i++) {std::cin >> e[i].u >> e[i].v >> e[i].w;}for(i64 i = 60; i >= 0; i--) {dsu[i].init(n);i64 s = 0;if(i && ((V >> (i - 1)) & 1LL)) continue;if(i) s |= (1LL << (i - 1));for(i64 j = 59; j >= i; j--) {s |= ((1LL << j) & V);}for(int j = 1; j <= m; j++) {i64 w = e[j].w;if((s & w) == s) v[i].pb(j);}for(auto id : v[i]) {int x = dsu[i].find(e[id].u), y = dsu[i].find(e[id].v);dsu[i].merge(x, y);}} while(q--) {int u, v;std::cin >> u >> v;bool flg = 0;for(int i = 60; i >= 0; i--) {if(dsu[i].find(u) == dsu[i].find(v)) {flg = 1;break;}}std::cout << (flg ? "Yes\n" : "No\n");}return 0;
}
