灰色预测GM(1,1)模型的理论原理

灰色预测是对时间有关的灰色过程进行预测。通过建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
由于笔者的水平不足，本章只是概括性地介绍GM（1，1）模型的理论原理，便于对初学者的初步理解

目录

• 一、灰色系统
• 二、GM(1,1)灰色预测模型
  • 1.生成累加数据与紧临均值生成序列
  • 2.建立预测方程与参数估计
  • 3.转离散为连续，建立微分方程
  • 4.求解微分方程————GM(1,1)模型的本质是有条件的指数拟合
  • 5.准指数规律的检验
    • (1)定义级比
    • (3)指标转换————将级比转化为光滑比
  • 6.发展系数与预测情形的探究
  • 7.GM(1,1)模型的评价
    • （1）残差检验
    • （2）级比偏差检验
  • 7.GM(1,1)模型的拓展
  • 8.什么时候用灰色预测？

一、灰色系统

二、GM(1,1)灰色预测模型

GM(1,1)是使用原始的离散非负数据列，通过一次累加生成削弱随机性的较有规律的新的离散数据列，然后通过建立微分方程模型，得到在离散点处的解经过累减生成的原始数据的近似估计值，从而预测原始数据的后续发展。
（第一个‘1’表示微分方程是一阶的，后面的‘1’表示只有一个变量）

1.生成累加数据与紧临均值生成序列

2.建立预测方程与参数估计

我们称方程x(°)(k) + az(1)(k) =b为GM(1,1)模型的基本形式(k=2,3,…,n)其中，b表示灰作用量，-a表示发展系数。
之后，建立回归方程，估计出a_hat与b_hat

3.转离散为连续，建立微分方程

4.求解微分方程————GM(1,1)模型的本质是有条件的指数拟合

由常微分方程的求解公式，我们最后得到的结果是一个带指数项的函数，因此我们可以得出结论：GM(1,1)模型的本质是有条件的指数拟合

5.准指数规律的检验

数据具有准指数规律是使用灰色系统建模的理论基础。

(1)定义级比

当级比所在的区间长度<0.5，则称累加r次后的序列具有准指数规律。

(3)指标转换————将级比转化为光滑比

我们通过一系列的数学转换，将级比转化为另一个指标————光滑比。当光滑比ρ<0.5时，与级比长度<0.5等价

6.发展系数与预测情形的探究

7.GM(1,1)模型的评价

使用GM(1,1)模型对未来的数据进行预测时，我们需要先检验GM(1,1)模型对原数据的拟合程度(对原始数据还原的效果)。一般有两种检验方法:

（1）残差检验

（2）级比偏差检验

7.GM(1,1)模型的拓展

简单来说，（3）与（4）就是把预测出来的值作为原始值，进行下一步的预测

8.什么时候用灰色预测？