树的拓扑序计数

 

树的拓扑序计数：树走拓扑排序，从根节点出发，每次只能从已遍历的点延伸到下一个相邻点，把树的节点都遍历完，所有遍历方式的情况数目？

 

对于一棵子树，它里面有k个点，可以有k!操作情况，但要确保根节点先走，剩下随意，可以有(k-1)!操作情况（根节点先走，就确定了一个位置，剩余k-1个位置），相当于/k。

对于当前树的所有节点和其子树，都是这样，/siz(tree_i)

结果为 n! / siz(tree_i)

 

F - Distributing Integers (atcoder.jp)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define ULL unsigned long long

const LL mod=1e9+7;

const double eps_1=1e-5;
const double eps_2=1e-10;

const int maxn=2e5+10;

vector<LL> adj[maxn];
LL n,siz[maxn],cheng[maxn],ni[maxn],result[maxn]; //,ni_cheng[maxn]
bool vis[maxn];

void dfs(LL d)
{
    siz[d]++;
    vis[d]=1;
    for (LL child:adj[d])
        if (!vis[child])
        {
            dfs(child);
            siz[d]+=siz[child];
        }
    (result[1] *= ni[siz[d]]) %= mod;
}

LL mul(LL a, LL b)
{
    LL ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1)
            ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

void modify(LL d)
{
    vis[d]=1;
    for (LL child:adj[d])
        if (!vis[child])
        {
            result[child] = result[d] * siz[child] %mod * ni[n-siz[child]] %mod;
            modify(child);
        }
}

int main()
{
    LL u,v,i;
    cin>>n;
    cheng[0]=1;
    for (i=1;i<=n;i++)
        cheng[i]=cheng[i-1]*i%mod;
    /*
    ni_cheng[n]=mul(cheng[n],mod-2);
    for (i=n-1;i>=0;i--)
        ni_cheng[i]=ni_cheng[i+1]*(i+1)%mod;
    ni[0]=1;
    for (i=1;i<=n;i++)
        ni[i]=cheng[i-1]*ni_cheng[i]%mod;
    */
    
    ni[0]=1;
    for (i=1;i<=n;i++)
        ni[i] = mul(i, mod-2);
        
    for (i=1;i<n;i++)
    {
        cin>>u>>v;
        adj[u].push_back(v);
        adj[v].push_back(u);
    }

    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(siz,0,sizeof(siz));
    result[1]=cheng[n];
    dfs(1);

    memset(vis,0,sizeof(vis));
    modify(1);

    for (i=1;i<=n;i++)
        cout<<result[i]<<endl;


    return 0;
}

 

这样写可以减少求逆元的操作数：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define ULL unsigned long long

const LL mod=1e9+7;

const double eps_1=1e-5;
const double eps_2=1e-10;

const int maxn=2e5+10;

vector<LL> adj[maxn];
LL n,siz[maxn],cheng[maxn],ni[maxn],result[maxn]; //,ni_cheng[maxn]
LL ni_cheng[maxn];
bool vis[maxn];

void dfs(LL d)
{
    siz[d]++;
    vis[d]=1;
    for (LL child:adj[d])
        if (!vis[child])
        {
            dfs(child);
            siz[d]+=siz[child];
        }
    (result[1] *= ni[siz[d]]) %= mod;
}

LL mul(LL a, LL b)
{
    LL ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1)
            ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

void modify(LL d)
{
    vis[d]=1;
    for (LL child:adj[d])
        if (!vis[child])
        {
            result[child] = result[d] * siz[child] %mod * ni[n-siz[child]] %mod;
            modify(child);
        }
}

int main()
{
    LL u,v,i;
    cin>>n;
    cheng[0]=1;
    for (i=1;i<=n;i++)
        cheng[i]=cheng[i-1]*i%mod;
    
    ni_cheng[n]=mul(cheng[n],mod-2);
    for (i=n-1;i>=0;i--)
        ni_cheng[i]=ni_cheng[i+1]*(i+1)%mod;
    ni[0]=1;
    for (i=1;i<=n;i++)
        ni[i]=cheng[i-1]*ni_cheng[i]%mod;
    
    
    /*
    ni[0]=1;
    for (i=1;i<=n;i++)
        ni[i] = mul(i, mod-2);
    */
        
    for (i=1;i<n;i++)
    {
        cin>>u>>v;
        adj[u].push_back(v);
        adj[v].push_back(u);
    }

    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(siz,0,sizeof(siz));
    result[1]=cheng[n];
    dfs(1);

    memset(vis,0,sizeof(vis));
    modify(1);

    for (i=1;i<=n;i++)
        cout<<result[i]<<endl;


    return 0;
}

 

C-序列_牛客挑战赛76 (nowcoder.com)

[ () () () ]

[] 根节点 () 叶子节点

如果相邻满足左右括号 ( ) 情况则被合并。括号不断、依次被合并，括号的串逐渐变小。括号的合并方式具有唯一性。

要确保叶子节点先走（被合并），根节点在这些叶子节点走完了（被合并完了），才能走（才被合并）。

树的拓扑序计数

 

 

类似但实际不同：

括号序列 - OI Wiki (oi-wiki.org)

构造方式数目： catalan 卡特兰数