CSP2024-30-编程知识

CSP2024-30

题意：将一个圆等分为 \(K\) 分，给出其中 \(n\) 个等分点的编号，\(x_i < x_{i + 1}\)。

有向边 \(i \to j\) 存在，当且仅当 \(j\) 是距离 \(i\) 最大的点（不唯一），且与图中其他边无交点（端点不算）。

求图中最多有多少条边。\(3 \le K \le 10^9, 3 \le n \le \min(K, 10^5)\)。

引理：不存在 \(A \to B,\ C \to D\)，其中 \(A, B, C, D\) 互不相同。

作过 \(A\) 的直径 \(AA^\prime\)，作 \(B\) 关于 \(AA^\prime\) 的对称点 \(B^\prime\)

如果 \(C\) 或 \(D\) 在 \(\overset{\LARGE\frown}{BB^\prime}\) 上，由于大弧对大角 \(AC(D) > AB\)，\(A \to B\) 的边不能存在，矛盾。
如果 \(\overset{\LARGE\frown}{CD}\) 包含于 \(\overset{\LARGE\frown}{AB}\)，\(CB > CD\)，矛盾。
如果 \(C\) 在 \(\overset{\LARGE\frown}{AB}\)，\(D\) 在 \(\overset{\LARGE\frown}{AB^\prime}\)，两边相交，不合法。

因此合法的状态只有两种：以某个点为中心的菊花状图；三条边首尾相连形成的等腰三角形。

注意两点的距离可以由对应弧长表示，也可以表示为跨过了多少整段：\(\min(\vert x_i - x_j\vert,\ K - \vert x_i - x_j\vert)\)，这是个凸函数，可以二分找分界点。

求出离每个 \(i\) 距离最大的点集（最多两个），时间复杂度 \(O(n\log n)\)。（双指针能做到线性）

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题意：给出字符串 \(s, t\)，文本串 \(T\) 的权值定义为 \(s\) 作为子序列在 \(T\) 出现的次数乘上 \(t\) 作为子序列在 \(T\) 出现的此次数。

给定 \(S\)，求 \(S\) 所有子串的权值和。\(\vert S\vert \le 10^5,\ \vert s\vert, \vert t\vert \le 20\)。

考虑没对子序列 \((s_1, s_2)\) 对答案的贡献（被多少区间包含），显然是第一个出现的位置乘上从最后位置开始的一个后缀长度。

设 \(f(i, j, k)\) 表示前 \(i\) 个字符，匹配到 \(s_1\) 的第 \(j\) 位，\(s_2\) 的第 \(k\) 位的开头位置和。

\(f(i, j, k) \gets [T_i = s_{1, j} = {s_{2, k}}]\times f(i -1, j - 1, k - 1)\)。
\(f(i, j, k) \gets [T_i = s_{1, j}]\times f(i -1, j - 1, k)\)。
\(f(i, j, k) \gets [T_i = s_{2, k}]\times f(i -1, j, k - 1)\)。
\(f(i, 0, 1) \gets [T_i = s_{1, 1}] \times f(i - 1, 0, 0),\ f(i, 1, 0) \gets [T_i = s_{2, 1}] \times f(i - 1, 0, 0),\ f(i, 1, 1) \gets [T_i = s_{1, 1}= s_{2, 1}] \times f(i - 1, 0, 0)\)。
\(f(i, j, k) \gets f(i -1, j, k)\)。

考虑以 \(i\) 结尾的贡献，不能由第四种转移过来（因为对应方案 \(i\) 不是结尾），前四种转移过后的 \(f(i, \vert s_1\vert, \vert s_2\vert)\) 乘上 \(\vert T\vert - i + 1\)。

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