第1章 Borel测度
在正式讨论我们的内容之前我们先做几点说明
1.我们只讨论\(\mathbb{R}^n\) 上的测度,因此如果不作特别说明,我们均认为测度和集合为于\(\mathbb{R}^n\) 中:
2.我们不特别区分外测度和测度,因为将外测度限制在可测集上就是可测集上的测度:
3.我们默认读者已经了解了\(\mathbb{R}^{n}\) 中一般外测度的构造和一般测度积分的定义,包括几个极限定理(Levi单调收敛/Fatou引理/Lebesgue控制收敛定理)
1.1 测度论回顾
1.1.1 测度
我们用\(\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)\) 表示\(\mathbb{I}\mathbb{R}^n\) 的所有子集构成的集合,
定义1.1.1(外测度). 称映射\(:\mu:\mathcal{P}(\mathbb{R}^{n})\to[0,\infty]\) 为外测度,如果:
- \(\mu(\varnothing)=0\)
显然,由外测度的次可加性可以得到单调性,即对任意的\(E\subset F\), 有
正如\(\mathbb{R}^n\) 中,我们可以定义可测集,将外测度限制在可测集上就得到了测度.
定义1.1.2(可测集). 称\(E\subset\mathbb{R}^n\) 是一\(\mu\) 可测集是指:
定义1.1.3( \(\sigma\) 代数). 设\(X\) 是一非空集合,称\(\mathcal{A}\subset2^X\) 的一个\(\sigma\) 代数是指:
-
\(\varnothing,X\in\mathcal{A}\)
-
\(A\in\mathcal{A}\Rightarrow X-A\in\mathcal{A}\)
-
\(A_{k}\in\mathcal{A}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\in\mathcal{A}\)
如果\(C\in2^X\) ,我们用\(\sigma(C)\) 表示包含\(C\) 的最小的\(\sigma\) 代数,或者称为由\(C\) 生成的\(\sigma\) 代数
Caratheodory定理
告诉我们,对于一外测度而言,所有可测集构成一\(\sigma\) 代数,将\(\mu\) 限制在\(\sigma\) 代数上就得到了测度
定理1.1.4(Caratheodory定理).设\(\mu\) 是\(\mathbb{R}^n\) 上的一外测度,则可测集构成的全体\(\mathcal{M}(\mu)\) 是一\(\sigma\) 代数,并且对\(\mathcal{M}(\mu)\) 中的互不相交的集合\(\{A_k\}\) 有
1.1.2 积分
类似Lebesgue测度,我们也可以先定义简单\(\mu\) -可测函数的积分,然后通过逼近的手段定义一般\(\mu\) -可测函数的极限,在此我们省略该过程,只列出一些对一般的测度依然成立的结论
定理1.1.5(非负可测函数的分解). 设\(f:X\to[0,\infty]\) 是\(\mu\) 可测函数,则存在\(X\) 中的一族\(\mu\) 可测集\(\{A_k\}_{k\geq1}\) 使得:
定理1.1.6(Egrof定理). 设\(\mu\) 是\(IF_{\mathrm{L}}^{n}\) 上一测度,假设\(f_k:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,k=1,\cdots\) 是\(\mu\) 可测函数,假设\(A\subset\mathbb{R}^n\) 也是\(\mu\) 可测集,并且\(\mu(A)<\infty\) ,且:
则对任意给定的\(\varepsilon>0\) ,存在一\(\mu\) 可测集\(B\subset A\) 使得:
- \(\mu(A-B)<\varepsilon\) 2. \(f_k\) 在\(B\) 上一致收敛于\(f\)
这里需要给出一些说明:
- \(\mu(A)<\infty\) 的条件不可省略(回忆在欧氏空间的定理叙述) ·该结论不需要对\(\mu\) 提任何正则性的要求,这是与Lusin定理等不同的地方
下边给出一些常用的记号: 称\(\mu\) 可测函数\(u\) 是局部可积函数,如果对任意的紧集\(K\) 都有:
并记为\(u\in L_{loc}^{1}(\mathbb{R}^{n},\mu)\)
如果
则记\(u\in L^{1}(\mathbb{R}^{n},\mu)\) .
类似可定义\(L_{lo\mathrm{c}}^{p}(\mathbb{R}^{n},\mu)\) 和LP(R, ) \(L^p(\mathbb{R}^n,\mu)\) \(L^p(\mathbb{R}^n,\mu),1\leq p\leq+\infty.\)
对Lebesgue测度成立的三大定理,对\(\mathbb{R}^n\) 上一般的测度也是成立的,
定理1.1.7 (单调渐升定理). 如果\(\{u_h\}_{h\in\mathbb{N}}\) 是一列非负\(\mu\) 可测函数,并且\(u_h\) \(\leq\) \(u_{h+ 1}, \mu\) a. e. \(x\in \mathbb{R} ^n\) ,则:
如果\(u_h\geq u_{h+1},\mu\)-a.e.\(x\in\mathbb{R}^n\) ,并且\(u_1\in L^1(\mathbb{R}^n,\mu)\) ,则
定理1.1.8(Fatou引理). 如果\(\{u_h\}_{h\in\mathbb{N}}\) 是一列非负\(\mu\) -可测函数,则:
定理1.1.9(控制收敛定理). 如果\(\{u_h\}_{h\in\mathbb{N}}\) 是一列\(\mu\) 可测函数,并且逐点收敛到u,并且存在\(\nu\in L^{1}(\mathbb{R}^{n},\mu)\) 使得\(|u_h|\leq\nu,\mu\)-a.e.\(x\in\mathbb{R}^n\) ,则
最后我们来回忆一下Fubini定理,首先我们先来回顾乘积测度,设\(\mu,\nu\) 分别是\(\mathbb{R}^{n}\) 和\(\mathbb{R}^{m}\) 上的外测度,我们定义\(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\) 上的乘积测度\(\mu\times\nu\) 为
其中\(\mathcal{F}\) 是\(G\) 的一族开覆盖,并且\(\mathcal{F}\) 中的元素都是\(E\times F,E\subset\mathbb{R}^n,F\subset\mathbb{R}^m\) 的形式.我们引入下边切片的记号:
我们陈述下边的Fubini定理
定理1.1.10(Fubini定理).
设\(\mu,\nu\) 分别是\(\mathbb{R}^{n}\) 和\(\mathbb{R}^m\) 上的外测度
1.如果\(E\in\mathcal{M}(\mu),F\in\mathcal{F}(\mu)\) ,则\(E\times F\in\mathcal{M}(\mu\times\nu)\) ,并且还有:
2.如果\(G\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\) 相对\(\mu\times\nu\) 是\(\sigma\) 有限的,则\(G_{x}\in\mathcal{M}(\nu),\mu\) -a.e. \(x\in\mathbb{R}^n\) ,并且:\(x\in\mathbb{R}^n\mapsto\nu(G_x)\) 是\(\mu\) 可测的
3.如果\(L^1\left(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m,\mu\times\nu\right)\) ,则:
在本节的最后我们用Fubini定理给出一个非常有用的公式
推论1.1.11(Layer-Cake公式).
设$u\in Lp(\mathbb{R}n,\mu),p\in[1,\infty),u\geq 0 $ ,
记\(\{u > t\}: = \{x:u(x) > t\}\) ,则:
证明.我们考虑函数\(f(x,t)=pt^{p-1}\:\mathbb{l}_{(0,u(x))}(t)\) 以及测度\(\mu\times\mathcal{L}\) ,使用Fubini定理就得到了:
1.2 Borel测度
我们用\(\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\) 表示\(\mathbb{R}^n\) 全体开集生成的\(\sigma\) 代数
1.2.1 Borel测度的结构
定义1.2.1(Borel测度).设\((\mathbb{R}^n,\mu,\mathcal{M})\) 是一测度空间,称\(\mu\) 是一Borel测度是指\(,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\subset\) M.
对于Borel测度而言,Borel集上的测度是由那些立方体所决定的.我们采用一种“代数”形式的证明方法来说明这一点
定义1.2.2 \(\pi\) 类) 称\(\mathcal{P}\subset2^X\) 是\(\pi\) 类,如果:
定义1.2.3( \(\lambda\) 类). 称\({\mathcal{L}}\subset2^X\) 是\(\lambda\) 类,如果:
-
\(X\in\mathcal{L}\)
-
\(A,B\in\mathcal{L}\) 且\(B\subset A\Rightarrow A-B\in\mathcal{L}\)
-
如果\(A_k\in\mathcal{L}\) 并且\(A_k\subset A_{k+1}\) 则\(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\in\mathcal{L}.\)
定理1.2.4 \((\pi-\lambda\) 定理). 设\(P\) 是\(\pi\) 类\(,\mathcal{L}\) 是\(\lambda\) 类,且\(P\subset\mathcal{L}\) ,则
证明.1.定义
其中\(\mathcal{L}^{\prime}\) 是包含\(P\) 的\(\lambda\) 类.可以直接验证\(S\) 也是一个\(\lambda\) 类
2.我们证明\(S\) 是一个\(\pi\) 类.即如果\(A,B\in S\) ,那么\(A\cap B\in S.\) 定义
由于\(S\) 是\(\lambda\) 类,故\(\mathcal{A}\) 也是\(\lambda\) 类,故\(S\subset\mathcal{A}.\) 因此如果\(B\in S\) ,那么\(B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{S}\)
3.我们证明\(S\) 是一个\(\sigma\) 代数.由于\(\varnothing\in S\) 因此\(\varnothing=X-X\in S.\) 因此\(A\in\mathcal{S}\Rightarrow X-A\in\) \(S\) ,故\(S\) 对补运算是封闭的.再假设\(A_k\in S\) ,令\(Bn=\bigcup_{k=1}^n Ak\),由于\(S\) 是一\(\pi\) 类,因此对有限交运算封闭\(,S\) 是\(\lambda\) 类故对补运算封闭,从而得到对有限并运算封闭,故\(B_n\in S\) ,而\(B_n\) 是一列递增的集合,故\(\lim Bn\in S\),故\(S\) 对任意并封闭,因此\(S\) 是一个\(\sigma\) 代数
4.因为\(\mathcal{P}\subset S\) ,故
利用上边的定理,我们就可以看出对于一个有限Borel测度,其在Bore集上的值完全由其在长方体上的测度决定,
定理1.2.5. 设\(\mu,\nu\) 是两个(有限)Borel测度,并且对任意的平行于坐标轴的立方体
有\(\mu(R)=\nu(R)\) ,则对任意的\(B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\) ,都有:
证明.1.我们\({\mathcal P}=\{R\in\mathbb{R}^{n}|R\) 是上述定义的方体),则\(P\) 是\(\pi\) 类
2.令
则\(L\) 是\(\lambda\) 类
3.根据\(\pi-\lambda\) 定理,就得到了\(\sigma(\mathcal{P})=\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\subset\mathcal{L}.\) 于是定理得证
1.2.2 Borel测度的判定
下边我们给出判断一个测度是否为Borel测度的准则
定理1.2.6(Caratheodory准则). 设\(\mu\) 是一外测度,则\(\mu\) 是Borel测度\(\Longleftrightarrow\)
证明.
1.设\(\mu\) 是一Borel集,因此\(\bar{E}_1\) 是Borel集.取\(E_1\cup E_2\) 作试验函数,于是如果\(d(E_{1},E_{2})>0\) ,则\(E_{2}\cap\bar{E}_{1}=\varnothing\) ,因此有
2.反之如果(1.4)成立.那么要证明对于任意的闭集\(E\) ,他都是可测集,即证明对于任意的\(F\subset\mathbb{R}^{n}\) ,都有
为此我们定义
则
参考文献
F. Maggi. Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems: An Introduction to Geometric Measure Theory. 2012.
L. C. Evans and R. F. Gariepy. Measure Theory and Fine Properties of Functions, Revised Edition.