FFT(2)

之前写过 FFT，但是写的有点太垃圾了。

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令 \(*\) 指代二元运算，一般来说满足交换律和结合律。

FFT 就是当 \(*\) 为加法运算时求其卷积。先来探讨一般情况下 \(*\) 运算卷积的求法。

实际上，\(*\) 卷积就是 \(C_k=\sum\limits_{i*j=k}a_ib_j\)，直接思考无法得到低于 \(O(n^2)\) 的做法。

考虑构造向量到向量的线性变换 \(\mathbb{DFT}\)，使得经过线性变换后满足 \(\mathbb{DFT}(a)_i\times \mathbb{DFT}(b)_i=\mathbb{DFT}(c)_i\)，同时其存在可逆变换（等价于刻画该变换的矩阵可逆）\(\mathbb{IDFT}\)，将 \(\mathbb{DFT}(c)\) 经过 \(\mathbb{IDFT}\) 重新得到卷积的结果。

将刻画线性变换 \(\mathbb{DFT}\) 的矩阵称为 \(\mathbb{DFT}\) 矩阵，设为 \(A\)，将原来的 \(a\) 和 \(b\) 视作向量的形式 \(\vec{u}\) 和 \(\vec{v}\)，则需要满足：

\[(A\vec{u})_i\times (A\vec{v})_i=(A\vec{w})_i \]

简单推导，\((A\vec{w})_i=\sum\limits_{j}A_{i,j}w_j\)，同样有：

\[(A\vec{u})_i=\sum\limits_{j}A_{i,j}u_j \]

\[(A\vec{v})_i=\sum\limits_{j}A_{i,j}v_j \]

根据我们刚才对 \(\mathbb{DFT}\) 变换的基本要求，其要满足：

\[(\sum\limits_{j}A_{i,j}u_j)\times(\sum\limits_{j}A_{i,j}v_j)=\sum\limits_{j}A_{i,j}w_j \]

\[\sum\limits_{j}\sum\limits_{k}A_{i,j}A_{i,k}u_jv_k=\sum\limits_{j}A_{i,j}w_j \]

如果将 \(w_j\) 重新拆成一开始的卷积形式：

\[\sum\limits_{j}\sum\limits_{k}A_{i,j}A_{i,k}u_jv_k=\sum\limits_{j}\sum\limits_{k}A_{i,j*k}u_jv_k \]

关于后面那个式子，实际上就是卷积的两种形式的转化。

根据一些与形式幂级数类似的经典结论，得到：

\[A_{i,j}A_{i,k}=A_{i,j*k} \]

对于满足 \(A_{i,j}A_{i,k}=A_{i,j*k}\) 且可逆的矩阵称为 \(\mathbb{DFT}\) 矩阵。

加法卷积中的 \(\mathbb{DFT}\) 矩阵

FFT 中 \(*\) 就是数域上的加法运算，上述结论立刻得到 \(A_{i,j}A_{i,k}=A_{i,j+k}\)。

一种平凡的构造是 \(A_{i,j}=a^j\)，此时上述结论成立但该矩阵行列式值为 \(0\)，不可逆，无法进行 \(\mathbb{IDFT}\) 变换。

稍微进行改动，取 \(A_{i,j}=a^{ij}\)，这样性质依旧存在且可逆。

神秘地令 \(a=\omega_n\)，即 \(A_{i,j}=\omega_n^{ij}\)。

将该矩阵称为范德蒙德矩阵。

考虑其逆矩阵（刻画 \(\mathbb{IDFT}\) 的矩阵），有一种充满人类智慧的构造：

观察 \((A\times A)_{i,j}=\sum\limits_{k}A_{i,k}A_{k,j}=\sum\limits_{k}\omega_n^{k(i+j)}\)，应用等比数列求和公式 \(\dfrac{a_1-a_nq}{1-q}\)，得到 \(\dfrac{1-\omega_n^{n(i+j)}}{1-\omega_n^{i+j}}\)。类似地，构造 \(B_{i,j}=\omega_n^{-ij}\)，得到 \((A\times B)_{i,j}=\dfrac{1-\omega_n^{n(i-j)}}{1-\omega_n^{i-j}}\)，惊人的发现，\(\dfrac{1}{n}AB\) 是一个单位矩阵！于是，范德蒙德逆矩阵就是 \(\dfrac{1}{n}B\)。

FFT

现在已经有了范德蒙德矩阵：\(A_{i,j}=\omega_n^{ij}\)，则 \((A\vec{u})_i=\sum\limits_{j}\omega_n^{ij}\vec{u}_j\)，从多项式的角度构造 \(f(x)=\sum\limits_{j}\vec{u}_jx^j\)，则 \((A\vec{u})_i=f(\omega_n^i)\)。