扩展KMP

前言

扩展KMP又称Z函数，可以快速的求出一个字符串的每一个后缀的与其的LCP（最大公共前缀）长度。

至于为什么要学习exKMP，因为（数据规模很上进）我们都是上进的OIer。

算法思路

暴力朴素的算法

将\(n\)个字符的字符串S中第\(i\)位开始的后缀与S的开头一一比较，求出LCP数组Z。

CODE

for(int i=1;i<n;i++)
{while(z[i]+i<n&&s[z[i]]==s[z[i]+i]) z[i]++;
}

由于上述算法太朴实无华了，所以我们的时间复杂度也很朴实无华达到\(O(n^2)\)。

exKMP

为了解决上述过分朴实无华的时间复杂度，exKMP学会了剥削利用一切可以利用的数据。

在exKMP中，我们从\(1\)到\(n-1\)依次计算z数组，那么我们在计算\(z[i]\)时\(z[1,i-1]\)是已经计算好了的。我们在计算过程中维护一个\(r\)，使\(r=max(z[j]+j-1)(j \lt i)\)，同时使\(l\)等于这个区间的左端点，即\(j\)。（\(r,l,j\)如图）

由z数值的定义可知，\(S[l,r]\)段是从第\(l\)位开始的字符串\(S\)的后缀与字符串\(S\)的LCP。那么\(S[0,z[l]-1]=S[l,r]\)。因为\(r=z[l]+l-1\)，所以\(S[0,r-l]=S[l,r]\)，且\(S[z[l]]!=S[r+1]\)（如果等于，那么z[l]就不是最大的）。（如图）

举个例子：
S={aaabb}(i=0,4)，当\(l=1\)时，\(z[l]=2,r=2\)。可以看出\(S[0,r-l]=S[l,r]\)。

理解上面后，我们来计算\(z[i]\)

1.若\(l \lt i \leq r\)，则\(S[i,r]=S[i-l,r-l]\)（上一个图所述情况可以看成\(i=l\)的情况，\(i\)每往后挪动一位，\(i-l\)也往后挪动一位）。

1.1若\(z[i-l] \lt r-l+1\)，也就是如图蓝线所示部分：

因为\(S[i-l,r-l]=S[i,r]\)，所以\(S[i-l,i-l+z[i-l]-1]=S[i,i+z[i-l]-1]\)。即上图中蓝红线所示部分相同。

而且\(S[i-l+z[i-l]] \neq S[i+z[i-l]]\)（上文有类似证明），所以\(z[i]=z[i-l+1]\)。

1.2若\(z[i-l] \ge r-i+1\)时，使\(z[i]=r-i+1\)，然后使用朴素的对比方法。（优质的食材往往使用最朴素的烹饪方法）（\(r\)以外的字符不清楚，那么就暴力查询）

2.若\(i \gt r\)，朴素求\(z[i]\)。

注意每次求出z[i]后都要看当前的z[i]是否可以更新l和r。

代码：

for(int i=1,l=0,r=0;i<m;i++)
{if(i<=r&&z[i-l]<r-i+1) z[i]=z[i-l];//1.1的情况else{z[i]=max(0,r-i+1);//1.2或2的情况对z[i]的更新while(i+z[i]<n&&b[z[i]]==b[i+z[i]]) z[i]++;//暴力求法}if(i+z[i]-1>r) l=i,r=i+z[i]-1;//更新l,r
}

exKMP的时间复杂度

虽然我们看似进行了很多次的朴素方法，但是我们使用暴力求法时都是\(i+z[i-l] \ge r\)或\(i \gt r\)的时候，而且我们的\(r\)是不断向后变化的（不变化就一定是\(O(1)\)的解法），也就是说实际上我们只对\(S[]\)（也就是代码中的\(b[]\)）只遍历了一次（对于整个exKMP来说，下同），而外围循环求\(z\)也只会遍历一次\(z\)。所以总时间复杂度\(O(n)\)。

后记

如果是两个字符串要求z函数，我们把他们拼成一条字符串，并且在连接处增加一个不属于这两个字符串的字符，就可以回归上述做法。