图论系列：
前言：
咲いた野の花よ
ああどうか教えておくれ
人は何故傷つけあって
争うのでしょう
相关题单：
题单1
题单2
题单3
题单4
一.并查集
1.基础定义与操作
（1）定义
并查集是一种用于管理元素所属集合的数据结构，实现为一个森林，其中每棵树表示一个集合，树中的节点表示对应集合中的元素。
（2）操作
合并（merge）：合并两个元素所属集合（合并对应的树）
查询（find）：查询某个元素所属集合（查询对应的树的根节点），这可以用于判断两个元素是否属于同一集合
并查集在经过修改后可以支持单个元素的删除、移动；使用动态开点线段树还可以实现可持久化并查集。
2.算法流程：
在并查集中，我们将一个个元素看成一个个点，将逻辑所属关系转化为图上的连通性问题。
（1）初始化
一开始每一个元素都属于一个单独的集合，将元素看作点，相当于现在有很多个只有根节点的树。方便起见，我们将根节点的父亲设为自己。（如图）
代码：
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
（2）查询
查询很简单，由于我们记录了每个点的父亲节点（而根节点的父亲就是自己），那么我们就一直跳父亲直到跳到一个点满足 \(fa_x=x\)。
如图，对于点 5 ，\(fa_5=2\) ，于是跳到点 2，\(fa_2=1\)，于是跳到点 1，\(fa_1=1\)，满足 \(fa_x=x\) 的要求，于是点 5 就属于 1 所在的这个集合。
代码：
inline int find(int x)
{if(x!=fa[x]) return find(fa[x]);//当前不是根节点就跳根节点return fa[x];//说明是根节点了，x=fa[x]，返回的实际上就是根节点
}
（3）合并
对于两个点 \(x,y\)，我们现在需要合并其所在的两个集合。由于每个点所在的集合实际上是由点所在树的根决定的，如果 \(root_x=root_y\)，那么就说明 \(x,y\) 已经在同一个集合内了，反之两点不在一个集合，此时只需将其中一个点的根的父亲设为另一个点的根，即 \(fa_{root_x}=root_y\) 。
这个时候我们再去判断原本属于 \(root_x\) 所在的集合的点，它们肯定都会先跳到 \(root_x\)，而此时 $fa_{root_x}=y $，于是这些点的根就成功的转化为了 \(root_y\) ，原本 \(root_y\) 所在的点的根自然也是 \(root_y\) ，于是就完成了合并。
如上图，现在我们要合并 5 所在的集合与 9 所在的集合。首先找到经过跳父亲找到 \(root_5=1,root_9=7\)，然后再把 \(fa_7\) 改为 \(1\)，相当于就是连了一条 \(1 \to 7\) 的无向边，于是两个集合就成功合并了。（如下图）
代码：
inline void merge(int x,int y)
{x=find(x),y=find(y);//找到两点的根节点if(x==y) return ;//如果已经在一个集合内了就不管fa[x]=y;//否则将其中一个根节点的父亲设为另一个点的根节点
}
（4）路径压缩
但是暴力跳父亲明显存在一定的问题，比如对于一条长为 \(n\) 的链，如果查询链尾的根节点，那么要跳 \(n\) 次，这样时间复杂度极高。
考虑优化。首先对于从链尾到根节点路径上经过的所有点，肯定都是属于根节点代表的这个集合内的，那么每次跳父亲也太费劲了。在查询的过程中，由于需要一层一层的跳父亲，于是通过递归，找到根节点之后，将路径上所有点的父亲都设为根节点，这样以后查询就只需要跳一次了。
优化过后的并查集时间复杂度是反阿克曼函数，将当作一个较小的常数即可。
如上图，现在我们用路径压缩来查询 9 节点的根节点，跳父亲就是 \(9 \to 8 \to 7 \to 1\)，然后递归回来就是 \(fa_7=fa_8=fa_9=1\)。（如下图）
代码：
inline int find(int x)
{if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);return fa[x];//如果当前是根节点，那么返回的就是根节点，如果不是（因为上面那句没有加 return ），所以路径上的所有点都会遍历这一句，此时fa[x]都被修改为根节点了，所以返回的还是根节点
}
（5）启发式合并
由于得知了并查集找根的实质与路径压缩的优化过程，所以对于一个集合代表的树，树高越小时间复杂度自然越小。对于两个集合，那么元素个数小的集合合并到元素个数大的集合时间复杂度会更优（学术上有证明，真的跑的很快，后面会介绍树上启发式合并）。
代码：
//查询的代码不变，多维护一个siz数组
inline void merge(int x,int y)
{x=find(x),y=find(y);if(x==y) return ;if(siz[x]>siz[y]) swap(x,y); fa[x]=y,siz[y]+=siz[x];//保证是小集合合并到大集合，同时记录当前集合的大小
}for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,siz[i]=1;//初始化每个集合大小为1
（6）删除
这个很牛啊，想了很久，结果有板子题。
对于删除单点 \(x\)，我们想到的第一个方法肯定是把 \(x\) 的父亲指向自己。但是这样会把 \(x\) 的下属也跟着脱离出来，这明显错了。
既然直接改变 \(x\) 点的父亲行不通，那把原先的 \(x\) 点留在那儿，成为一个虚点。然后我们再建立一个新的点 \(y\) 成为真正的 \(x\) 点，这样 \(x\) 的下属找祖宗的时候就可以正常经过虚点，但我们实际的 \(x\) 却在 \(y\)。
但是这里又产生了第二个问题：我怎么才能知道真正的 \(x\) 点在哪？
当然在 \(y\) 啦，记录一下每个点真实所在下标即可。对于一个 \(fa\) 数组， \(fa_{1 \sim n}\) 存真实点的下标，而真实点从 \(n+1\) 开始用（相当于我们钦定点 \(1\) 真实在 \(n+1\),点 \(n\) 真实在 \(2n\)）。
于是初始化的时候 \(fa_i=n+i , 1 \leq i \leq n\)，\(fa_i=i，n+1 \leq i \leq 2*n+q\)（第二个式子是因为真实点的 \(fa_i=i\)，而操作最多 \(q\) 次，最多会用到 \(2*n+q\) 个点）。
那么删除的时候就非常简单了，初始化 \(num=2*n\)，表示当前用到哪个点了。那么删除一个点 \(x\) 时，只用将 \(fa_x=++num\) 即可。
可能有点抽象，画图理解，对于上图删去点 2（红色值表示的就是 \(fa_i\) 的值，此时 \(num=12\)），\(fa_2=13\) （\(x\) 表示当前这里是个虚点）。此时查询点 4，它还是在集合 1 中。（如下图）
除了初始化，其余操作代码均不变。
（7）移动
将某个元素移动到另一个集合去。显然的，删了以后再加不久行了。
（8）带权/拓展域
带权并查集，这个在例题里结合来讲可能会清晰一点。
3.应用
我觉得 oi wiki 的专题已经比较全面了，其他的可能结合后面的题加深对一些并查集套路的理解。
https://oi-wiki.org/topic/dsu-app/
二.最小生成树
这里讨论的都是无向图连通图内的最小生成树，有向图最小生成树是最小树形图，以后可能会写吧。
1.相关定义
生成树：对于连通图，形态是一棵树的生成子图称为生成树。（所以生成树是一颗连通了图上所有点的树。非连通图不存在生成树。）
生成森林：由每个连通分量的生成树组成的子图称为 生成森林。
非树边：对于某棵生成树，原图的不在生成树上的边称为非树边。
给定一张带权连通图，求其边权和最小的生成树，称为 最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）。对于非连通图，对每个连通分量求最小生成树即得最小生成森林。
2.算法
最小生成树常见有三种（Kruskal，Prim与Boruvka）求法，其实只用学 Kruskal 与 Boruvka 就可以了（毕竟 Kruskal 后面有 Kruskal 重构树，Boruvka 可以解决一些特殊图）。
理解 Kruskal 实际上就是按边权大小从小到大排序之后，使用并查集维护当前边连接的两点是否已经在同一个集合内了，如果在就跳过，不在就加入这条边，然后在并查集中将这两点合并起来。
（我好懒啊，其实算法挺简单的，oiwiki 这部分写的挺全面的 https://oi-wiki.org/graph/mst/）
练习题：
题单1 题单2 题单3 题单4
