模板Tarjan

Tarjan 模板

因为每次写Tarjan都会写挂，所以整理了一些模板。主要的证明就跳过了，主要区分不同模板的差异。

有向图和无向图

有向图和无向图的实现有时候会有区别，因为建出DFS树之后，有向图可能有横叉边，但是无向图不会（显然），所以有些细节需要注意。而且无向图判重边会比较麻烦。

无向图

void Tarjan(int u,int rt){dfn[u]=low[u]=++num;st.push(u);for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].to;if(!dfn[v]){Tarjan(v,rt);low[u]=min(low[u],low[v]);}else low[u]=min(low[u],dfn[v]);}
}

有向图

void Tarjan(int u,int rt){dfn[u]=low[u]=++num;st.push(u);vis[u]=1;for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].to;if(!dfn[v]){Tarjan(v,rt);low[u]=min(low[u],low[v]);}else if(vis[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);}
}

可以看到，有向图较无向图只多了一个vis记录某节点是否在栈中，因为在栈中的节点都是当前节点在DFS树上的祖先节点，这样可以排除横叉边干扰。

割点/点双连通分量（无向图）

cut表示割点，scc表示点双包含的元素。一个点可以属于多个点双。（实际上只有割点可以）

求割点和点双本质上是一样的，判断条件：$ low[v]=dfn[u] $

网上存在两种写法，详见代码。

void Tarjan(int u,int rt){dfn[u]=low[u]=++tot;st.push(u);for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].to;if(!dfn[v]){son[u]++;Tarjan(v,rt);low[u]=min(low[u],low[v]);if(low[v]==dfn[u]){//也可写成low[v]>=dfn[u]，但是需要下一行的特判cut[u]=1;//if(u!=rt||son[u]>1)cut[u]=1;num++;int k=0;do{k=st.top();scc[num].push_back(k);st.pop();}while(k!=v);scc[num].push_back(u);//当前节点也在点双中}}else low[u]=min(low[u],dfn[v]);}
}

割边/边双连通分量/强连通分量（无向图）

brige表示割边，dcc表示边双包含的元素。每个点只会属于一个边双。

相似求法，判断条件：$ low[v]<dfn[u] $

与割点几乎没有区别。唯一不好的是重边容易出错，原因？

由于是无向图，所以直接由父亲节点更新当前节点的low是不正确的，有重边例外。一个可行的实现是：记录一个vis为这条边是否遍历过，只能有未经过的边转移。（一个技巧，初始化cnt（链式前向星的边数）为1，这样 \(i\) 和 \(i\ xor \ 1\) 就对应同一条边 ）

void Tarjan(int u,int rt,int fa){dfn[u]=low[u]=++tot;st.push(u);for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].to;if(!dfn[v]){vis[i]=vis[i^1]=1;Tarjan(v,rt,u);low[u]=min(low[u],low[v]);if(low[v]>dfn[u]){brige[e[i].id]=1;num++;int k=0;do{k=st.top();dcc[num].push_back(k);st.pop();}while(k!=v);}}else if(!vis[i]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);}// if(dfn[u]==low[u]){// 	ans++;// 	int k=0;// 	do{// 		k=st.top();// 		dcc[ans].push_back(k);// 		st.pop();// 	}while(k!=u);// }// 求边双也可以写成这样，便于和缩点一起记忆
}

缩点（有向图）

缩点就是把一个强连通分量缩成一个点，使原图成为一个DAG。

void Tarjan(int u,int rt){dfn[u]=low[u]=++tot;st.push(u);vis[u]=1;for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].to;if(!dfn[v]){Tarjan(v,rt);low[u]=min(low[u],low[v]);}else if(vis[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);}if(low[u]==dfn[u]){int k=0;num++;do{k=st.top();scc[num].push_back(k);vis[k]=0;//注意清空visbel[k]=num;sum[num]+=val[k];st.pop();}while(k!=u);}
}

总结

我写过的差不多就这些，主体部分是相似的（也许这是为什么Tarjan总学不会），重点区分点双和边双的判断条件，有向图和无向图的处理细节。对于不同的写法记一种就够用了。