波导之力，存乎我心

\[\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\Om}{\operatorname\Omega} \newcommand{\Si}{\operatorname S} \newcommand{\Te}{\operatorname T} \newcommand{\Ga}{\operatorname G} \newcommand{\Wb}{\operatorname{Wb}} \newcommand{\He}{\operatorname H} \newcommand{\Ke}{\operatorname K} \newcommand{\Wa}{\operatorname W} \newcommand{\Var}{\operatorname{var}} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\e}{\mathrm e} \newcommand{\j}{\mathtt j} \newcommand{\i}{\mathtt i} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Emo}{\mathcal E} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\para}{\parallel} \newcommand{\t}{\tilde} \newcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\c}{\mathtt c} \]

高频电容

为圆盘电容器两端加诸驱动电压

\[E_1=E_0\exp(\i\omega t) \]

其将引起磁场

\[B_0=\dfrac{\i\omega r}{2c^2}E_0\exp(\i\omega t) \]

这个磁场反过来引起电场

\[E_2=-\dfrac{\omega^2r^2}{4c^2}E_0\exp(\i\omega t) \]

其又将引起磁场……

累计修正得到

\[E=E_0\exp(\i\omega t)\sum_{i=0}^\infty\dfrac{(-1)^i}{(i!)^2}(\omega r/2c)^{2i} \]

这个级数是所谓的 Bessel 级数

\[J_0(x)=\sum_{i=0}^\infty\dfrac{(-1)^i}{(i!)^2}(x/2)^{2i} \]

于是有

\[E=E_0\exp(\i\omega t)J_0(\omega r/c) \]

圆柱空腔谐振器

如果在 Bessel 函数的零点处围一圈导体，因为零点处始终没有电场，所以就算用导体让两极板短路也不会有任何影响，于是就有一个理想导体盒子内部可以有自发不停振的电磁场，此乃空腔谐振器。

矩形空腔谐振器

在无自由电荷和电流（远场）的场合，电场和磁场都满足方程 \(\nabla^2\b E=\dfrac1{c^2}\ddot{\b E},\nabla^2\b B=\dfrac1{c^2}\ddot{\b B}\)。倘若假设电磁场都是时谐波 \(\b E(x,y,z,t)=\b E(x,y,z)\exp(\i\omega t)\)，则其化为 Helmholtz 方程

\[\nabla^2\b E+k^2\b E=\b0 \]

其中 \(k=\omega/c\) 定义为波数。Helmholtz 公式搭配上无源公式 \(\nabla\cdot\b E=0\) 和边界条件，是全体远场时谐波的充要条件。

对于 \(\b E\) 的某一维 \(E_x\)，假设其三维独立，即有 \(E=X(x)Y(y)Z(z)\) 的形式，得到 \(X''/X+Y''/Y+Z''/Z+k^2=0\) 的形式。于是可以拆成三个独立方程 \(X''/X+k_x^2=0\)。（符号问题单独讨论可知只有一侧符号成立）。根据边界条件（电磁场的界面连续性）得到通解

\[\begin{cases} E_x(z,y,z)=A\cos k_xx\sin k_yy\sin k_zz \\k_x=\dfrac{m\pi}{a} \\k_y=\dfrac{n\pi}{b} \\k_z=\dfrac{p\pi}{c} \\k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2 \end{cases} \]

根据 \(\nabla\cdot\b E=0\) 处处成立得到 \(E_x,E_y,E_z\) 三方向频率须协调，且不止需要协调还要满足额外公式，最终得到

\[E_x=A_x\cos k_xx\sin k_yy\sin k_zz \\E_y=A_y\sin k_xx\cos k_yy\sin k_zz \\E_z=A_z\sin k_xx\sin k_yy\cos k_zz \\k_x=\dfrac{m\pi}{a},k_y=\dfrac{n\pi}{b},k_z=\dfrac{p\pi}{c} \\k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2=\omega^2/c^2 \\A_xk_x+A_yk_y+A_zk_z=0 \]

以上公式完美刻画了一个时谐独立电场。其对应的频率是 \(\omega_{mnp}\)。\(m,n,p\) 中至多只能有一维为零，否则易知整个电磁场就不存在了。

不妨假设矩形空腔在 \(y\) 维的长度最短（为什么是 \(y\) 维？因为我们认为 \(z\) 维是较为特殊的一维：TE 波满足 \(E_z=0\)，TM 波满足 \(B_z=0\)，TEM 波二者皆有），此时对应的 \(\omega_{101}\) 即为 TE101 模式

\[E_y=A_y\sin\dfrac xa\pi\sin\dfrac zc\pi \\B_x=-\dfrac\i\omega A_y\dfrac\pi c\sin\dfrac xa\pi\cos\dfrac zc\pi \\B_z=\dfrac\i\omega A_y\dfrac\pi a\cos\dfrac xa\pi\sin\dfrac zc\pi \\E_x=E_z=B_y=0 \]