2023 ICPC 亚洲区域赛济南站 B. Graph Partitioning 2

news/2025/1/8 15:22:02/文章来源:https://www.cnblogs.com/YzaCsp/p/18659763

前言

讲还是要多听, 这个很重要啊

思路

赛时的思路不太正确啊

容易想到树形 $\rm{dp}$ , 考虑令 $f_{u, i}$ 表示对于 $u$ 子树, 拆分出一块包含 $u$ 的大小为 $i$ 的连通块的方案数

考虑转移, 类似树上背包

\[f_{u, k} \gets \sum_{v \in son(u) , i + j = k} f_{v, i} \times f_{u, j} \]

逐个插入即可, 树上背包的上下界优化证明了这个的复杂度为 $\mathcal{O} (nk)$

对于 $k$ 比较小的情况下, 直接使用这个算法是正确的
那么 $k$ 比较大的呢?
考虑 $k$ 比较大的时候怎么简化运算, 实际上此时可以被使用的状态是很少的, 具体的原因是, 假设你分了 $x$ 个大小为 $k$ 的块, 当然也可以计算出大小为 $k + 1$ 的块的个数 $\displaystyle y = \left\lfloor \frac{size - xk}{k + 1} \right\rfloor $ , 所以当前覆盖 $u$ 的块的大小为 $(size - xk) \textrm{ mod } (k + 1)$ , 容易发现的是 $x$ 数量很少啊, 所以对应的覆盖 $u$ 的块的大小的数量也就很少啊
需要注意的是, $(size - xk) \textrm{ mod } (k + 1) = 0$ 对应了两种情况, 必须新开一维确定这个的大小

考虑根号分治

对于 $k \leq \sqrt{n}$
直接使用树形背包
对于 $k \geq \sqrt{n}$
记录分出大小为 $k$ 的块的个数, 转移即可

考虑 $k \geq \sqrt{n}$ 时的具体转移
令 $g_{u, i, 0/1}$ 表示对于 $u$ 子树, 拆分出了 $i$ 块大小为 $k$ 的连通块, 其中 $u$ 所在连通块大小是否为 $k + 1$ 的方案数
假设当前考虑到了儿子 $v$ , 还是逐个插入
首先写出简单形式的转移

\[g_{u, k} \gets \sum_{v \in son(u), i + j = k} g_{u, i} \times g_{v, j} \]

考虑 $k + 1$ 的约束

首先对于 $ (size - xk) \textrm{ mod } (k + 1) \neq 0$ 和 $ (size - xk) \textrm{ mod } (k + 1) = 0$ 但是钦定了大小不为 $k + 1$ 的情况正常处理

\[g_{u, k, 0} \gets \sum_{v \in son(u), i + j = k} g_{u, i, 0} \times g_{v, j, 0} \]

然后处理特殊情况 $ (size - xk) \textrm{ mod } (k + 1) = 0$

\[\begin{align*} & g_{u, k, 1} \gets g_{u, i, 1} \times g_{v, j, 1} \\ & g_{u, k, 1} \gets g_{u, i, 0} \times g_{v, j, 0} \\ & g_{u, k, 1} \gets g_{u, i, 1} \times g_{v, j, 0} \\ & g_{u, k, 0} \gets g_{u, i, 0} \times g_{v, j, 1} \end{align*} \]

意义从上到下依次为