2月做题记录

2月做题记录

✩ trick
✯ 会大部分，要\(tj\)提示
✬ 会小部分/完全没想到，看了\(tj\)才会
◈ 脑电波
✡ 有某一算法的神秘通用性质
⊗ 待补

目录

• 2月做题记录
• 字符串
  • CF1827C
  • CF1913F
  • P10716
  • P11150 ✩✯
• 树
  • [NOI2021] 轻重边
    • • • • 做法1 ✩
          • 做法2
          • 做法3 ✡
  • 《简单树剖练习题》
  • [QOJ9638] 线段树与区间加
    • • • • 做法1
          • 做法2
  • 「GLR-R3」谷雨
  • [集训队互测] 数据结构
  • [CF1930H]Interactive Mex Tree ✯✡

字符串

CF1827C

对于偶回文串，若它有一个偶的回文后缀，那么这个偶回文串一定能拆成若干个偶回文串

那么对于一个好的串的划分，采取能划分就划分的方式，则是唯一的

所以对于每个后缀找到最小的回文后缀即可

用\(PAM\)即可\(O(N)\)解决问题

CF1913F

考虑改变\(s_i\)的字符，消失的回文串是不以\(i\)为中心，且包含了\(i\)的回文串，这个好算的

考虑改变后的，增加的也是不以\(i\)为中心且包含\(i\)的回文串

可以最开始先处理一下，枚举回文中心\(p\)，可以很轻松的找到以\(p\)为o中心的最长回文串的长度，此时不能再长，要么是碰到边界了，要么当前两端的点的字符不相同，此时只需要改变其中一个变成另一个即可，我们假设它们已经相同，然后再继续延伸向两侧

复杂度\(O(NlogN)\)

P10716

对于\(k\)的限制，就是限制了\(|A|\)的最大长度，再加上\(A\)必须是\(border\)，后面可以\(kmp\)+\(st\)表跳

前面这个是\(check\)是否串\(A\)在\(S\)中贪心的匹配后，第\(k\)个匹配到的串全都包含在\(i\)内，因为一共匹配到的位置只有\(\sum\frac ni=O(NlogN)\)，所以可以暴力的找到所有匹配的位置

具体的过程类似链表维护，维护当前点的后一个点，显然可以并查集辅助

复杂度\(O(NlogN\alpha(N))\)

P11150 ✩✯

要求\(S[1,i]+T+S[i+1,n]\)最小，暴力的想法就是枚举所有的\(i\)然后挨个判断大小，但这样复杂度高达\(O(TN)\)，似了

考虑去掉无用的\(i\)，对于点对\((i,j)\)，若满足\(i+j\)最小且\(S[1,i]+T[1,j]<S[1,i+j]\)，则显然这里的\(i\)可能成为答案的\(i\)，否则当且仅当，前面得到的可能成为答案的\(i\)满足\(S[i-m+1,i]=T[1,j]\)，即可置换一下\(S[i-m+1,i]\)和\(T[1,j]\)的位置

因此可以在\(S\)后面塞个\(INF\)

可以\(SAM\)然后枚举\(j\)找最小的\(i\)即可，此时候选的\(i\)的数量级就是\(O(M)\)的了，可接受直接比较了

对于\((i_1,j_1)\)与\((i_2,j_2)\)（\(i_1<i_2\)），有\(S[1,i_1]+T[1,j_1-1]=S[1,i_2]+T[1,j_2-1]\)，只需要考虑\(T[j_1,m]+S[i_1+1,n]\)和\(T[j_2,m]+S[i_2+1,n]\)的大小即可，且可以发现，如果\(T[j_1,m]\)是\(T[j_2,m]\)的前缀，那么其实\(T[j_1,m]+S[i_1+1,n]\)就和\(T[j_2,m]+S[i_2+1,n]\)相同了

求出可能是答案的\(i\)后，再往前跳\(T\)的循环即可

视\(N\)、\(Q\)同阶，复杂度\(O(Nlog N)\)

树

[NOI2021] 轻重边

做法1 ✩

比较巧妙的做法，给每个点赋值，然后一条边是重边当且仅当其相连的两点的权值相同

做法2

称题目的重边为标记边

先轻重链剖分，我们维护重链上的信息，轻链的把信息挂到父亲上，即记录一个点的孩子的轻边中，哪些是被标记的边，显然至多俩

那么跳\(a\rightarrow b\)时，因为与路径上的点相连且不在路进上的边中，只有\(O(logN)\)条重链，所以直接去修改这些重链

做法3 ✡

用毛毛虫，然后\(0/1\)表示\(x\rightarrow fa_x\)是否是重边

复杂度都是\(O(Nlog^2N)\)

《简单树剖练习题》

路径上的点的权值的变化就是\(2k|a_u-a_v|^m\)，对于与路径相邻的那些重边，\(O(logN)\)条，直接暴力的改，轻边查询的时候暴力的查即可

复杂度\(O(Nlog^2N)\)

[QOJ9638] 线段树与区间加

做法1

其实\(va\)没用，因为\(a_i\)等价于\(\sum_{j\in tree_i} tag_j\times len_j\)，那么给\(vb_i\)加上 所有祖先的\(va\)之和乘\(len_i\) 即可

发现操作就形如两条链，一个整体向左，一个整体向右，然后这两条链上的点除了最后一个，都要下传标记，且与链上的点（除了底部那个）相邻的点和链的底部的点都要打上\(k\)的\(tag\)

树剖一下

这个打标记，对于重链头，就可以标记给它的父亲，后面遍历到它的时候再传下来即可，注意帮左/右儿子打的标记要分别记录

考虑怎么维护下传标记，实际上可以直接找到所有标记点然后传下去即可，因为你注意到每次实际上真正打到点上的标记是\(O(1)\)个

复杂度\(O(Nlog^2N)\)

做法2

同样还是只保留\(vb\)

考虑每次\(pushdown(x)\)后答案的变化为\(lazy_x\times(-vb_x+vb_{ls_x}+vb_{rs_x})\)，把\(vb'_x\)赋值为\(-vb_x+vb_{ls_x}+vb_{rs_x}\)，记\(lazy'\)为\(x\)到根的\(lazy\)之和，那么\(\Delta=\sum_{i\in S}lazy'_i\times vb'_i\)，\(S\)表示要下传标记的集合

那么给一个点的\(lazy_x\)加上\(k\)的贡献就是\(k\times vb_x\)，在每次操作中，只要找到所有打标记的点的\(vb_x\)之和即可，这个是好记录的，就像做法1一样，记录点\(u\)到其所属链底的所有点的非链上的左/右儿子的\(vb_x\)之和即可

对于每次操作，就是把完全被包含于\([l,r]\)的区间的\(lazy'\)都加上\(k\)，与\([l,r]\)有交的区间的\(lazy'\)都清空且加入\(S\)，后面这个是两个链，树剖很好维护

对于前面这个，注意到这样的点就是后面那俩链上的点的，不在链上的右/左儿子子树，考虑这样标号，对于一条重链，先把它链上的点都遍历了，再依次遍历其所有的左子树，再一次遍历其所有的右子树，这样就可以表示为一个区间了

复杂度\(O(Nlog^2N)\)

「GLR-R3」谷雨

用毛毛虫，但是端点处的点要特殊处理一下

复杂度\(O(Nlog^2N)\)

[集训队互测] 数据结构

毛毛虫升级版，也许可以叫猫猫虫

先标号一条重链，再依次标号距离该链长度为\(1\)，\(2\)，\(3\)的点即可

复杂度\(O(Nlog^2N)\)

[CF1930H]Interactive Mex Tree ✯✡

令\(p_1\)是入栈顺序，\(p_2\)是出栈顺序，而\(mex(S)=min(U-S)\)，则只需要得到所有不在路径\(x-y\)上的点的值的\(\min\)即可，设\(lca(x,y)=z\)，\(x'\)、\(y'\)分别表示\(x\)和\(y\)处于\(z\)的哪个子树中，则\(U-S\)可以表示为：

• \(p_{1,1\sim in[z]-1}\)
• \(p_{1,in[y]+1\sim n}\)
• \(p_{2,1\sim out[x]-1}\)
• \(p_{1,in[x]+1\sim in[y']-1}\)
• \(p_{2,out[x']+1\sim out[y]-1}\)