省选模拟赛乱改

news/2025/2/22 20:57:50/文章来源:https://www.cnblogs.com/abnormal123/p/18731383

省选模拟赛乱改

好长时间不写博客了，发篇题解证明我还活着。

游戏

给定一个正整数序列，每次在非零的元素中等概率选一个，使其减一，进行 $m$ 次操作后，问 $0$ 的期望个数。 $ n \le 15 , m\le 200 $

~~赛时多一个等号保龄了，哈哈哈~~

考虑状压DP，设 $ f_{i,S} $ 为第 $i$ 次操作后，序列状态为 $S$ （是否为0）的概率，有转移：

\[f_{i,S} = \frac{f_{i-1,S}}{count(S)} + \sum_{j \in S} \frac{f_{i-1,S / {j}}}{count(S)-1} \times \binom { i-1+a_j-a_S } { a_j-1 } \]

其中组合数是确定使某一个元素变成零的操作位置。对于没有对状态产生贡献的操作，最后要统计一下方案数，包含相对位置和数量，注意边界，跑一遍背包即可。

容易发现这样做是正确的。

总复杂度 $ O(2^n n m^2) $ ，瓶颈在于背包，实际跑不满，也许可以证明最劣复杂度正确。

排序

考虑一种反人类的排序：

从排列的开头开始，判断每一对相邻的数是否大小关系正确。
如果存在相邻的一对数大小关系不正确：
把较小的那个数丢到排列开头。回到步骤一。
排列有序了，结束。

现在给定步骤二的操作次数 $K$ ，要求构造一个字典序最小的排列满足步骤二进行了恰好 $K$ 次。 $ K\le 10^{18} $

对于一个上升前缀，如果后一个元素不满足单调递增，那么它产生的贡献为 $ 2^k $ ，其中k是在这之前比它小的元素个数。证明是显然的，归纳即可。

构造有些小清新。

二进制拆分，从低往高位枚举，维护一个栈。若当前为1，将未使用的最小值压入栈，次小值输出；若当前为0，如果栈非空，输出栈顶，否则输出最小值。

证明就是对于每一个1，之前都输出了足够多的小于它的元素，并且以后不会再增加。

送信

诈骗题。

初始时有 $n$ 个空信箱，排成一排，以如下方式送 $m$ 封信：

随机选择一个信箱，在随机一个方向（左或右），从该信箱出发向该方向移动，遇到第一个空信箱就把信放入，结束。若没有空信箱就把信撕毁。

问所有信都送出的方案数。

考虑看成一个环，就是求不经过第 $n+1$ 个点的方案数。

发现方案数很难做，改为求概率。如果最终的信箱确定，那么这些信箱没有区别。

总方案 $ (1-\frac{m}{n+1}) (2n+2)^{m} $

逆序对

原题P5972

一个长度为 $n$ 排列，对于每个 $ k \in [1,n] $ ，找到长度为 $k$ 的逆序对数量最少的子序列，求最小值和方案数。

原题范围 $ n\le 40 $ ，时限6s

注意到数据范围很小，考虑优化状压DP。

首先，$ O(2^n n) $ 的DP是显然的，考虑对它优化。思考，我们需要状压的原因是，后续选择的贡献与之前的状态有关，充分发扬人类智慧，发现后续未确定状态的位置把已选择的元素划分成若干段，我们不关心每个段内具体状态，只需要知道每个段包含元素个数。

举例来说，假设我们选择了 $ 1,7,3,4 $ ，未确定状态的是 $ 2,6 $ ，划分成三段 $ [1] , [3,4] , [7] $ 。考虑对状态再次压缩。

假设划分成 $ m $ 段，第 $i$ 段元素个数为 $ x_i $ ，则复杂度为 $ O( \prod x_i n ) $ ，显然每段相等时复杂度最劣，设每段元素个数均为 $s$ ，考虑 $s$ 取何值使得 $ s^{\frac{n}{s}} $ 最大。

$n$ 对单调性没有影响，先不理，对原式取自然对数，单调性不变，即 $ \frac1{s} ln(s) $ ，求导发现（我还不会求导，长大后再来探索吧），是个单峰函数，当 $ s=e $ 时取最大值，令 $ s \in N $ ，最大为 $ 3^{\frac{n}{3}} $

将状态压成一个整数即可，会多带一个n，复杂度 $ O(3^{\frac{n}{3}} n^2) $ 。需要卡常。

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mp make_pair
typedef long long ll;
const int N=42;
const int M=5e6+40;
int n,a[N],d[N],c[N],g[N],h[N],w[N][N],siz[N];
ll ans[N][N*N];
struct Hash_Table{int num[M],maxn;ll val[M];void ins(int x,int y,ll z){if(val[x]){if(num[x]>y)num[x]=y,val[x]=z;else if(num[x]==y)val[x]+=z;}else {maxn=max(maxn,x);num[x]=y;val[x]=z;}}
}f[2];
inline void get1(int x,int id){if(id==0){memset(g,0,sizeof(int)*(n+1));return ;}for(int i=0;i<siz[id];i++){g[i]=x%w[id][i];x/=w[id][i];}
}
inline int get2(int id){int res=0;for(int i=siz[id]-1;i>=0;i--){res=res*w[id][i]+h[i];}return res;
}
inline void get3(int len,int y){for(int i=0,j=0;i<len;i++){if(i==y)h[j-1]+=g[i];else h[j++]=g[i];}
}
signed main()
{// freopen("q.in","r",stdin);// freopen("q.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);}for(int i=1;i<=n;i++){memcpy(c,a,sizeof(c));sort(c+i+1,c+n+1);if(i+1<=n)w[i][siz[i]++]=c[i+1];for(int j=i+2;j<=n;j++)w[i][siz[i]++]=c[j]-c[j-1];if(i==n)w[i][siz[i]++]=n+1;else w[i][siz[i]++]=n-c[n]+1;}for(int i=n;i>=1;i--){d[i]=1;for(int j=i+1;j<=n;j++){if(a[j]<a[i])d[i]++;}}f[0].ins(0,0,1);for(int i=1,flag=1;i<=n;i++,flag^=1){for(int it=0;it<=f[flag^1].maxn;it++){if(f[flag^1].val[it]){get1(it,i-1);int c=f[flag^1].num[it],s=0;for(int j=d[i];j<n-i+2;j++)s+=g[j];get3(n-i+2,d[i]);f[flag].ins(get2(i),c,f[flag^1].val[it]);h[d[i]-1]++;f[flag].ins(get2(i),c+s,f[flag^1].val[it]);f[flag^1].num[it]=f[flag^1].val[it]=0;}}f[flag^1].maxn=0;}for(int it=0;it<=f[n&1].maxn;it++){if(f[n&1].val[it]){get1(it,n);int s=0,c=f[n&1].num[it];s+=g[0];ans[s][c]+=f[n&1].val[it];}}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<=i*i;j++){if(ans[i][j]){printf("%d %lld\n",j,ans[i][j]);break;}}}
}