字符串回炉重造（KMP篇）

引子

\(\text{KMP}\) 算法本质是用失配指针来优化暴力配对。

而我们用最长 \(\text{border}\) 来当做失配指针的本质在于：两个成功匹配区间的交必定是模式串的 \(\text{border}\)。

假设我们有两个长度分别为 \(n,m\) 的串 \(s,t\)。我们现在要找出 \(t\) 在 \(s\) 中所有出现位置的左端点下标。

思想简易概述

从左往右扫，如果每次下一个字符无法配对，就通过跳失配对指针。
因为下一个出现位置和当前的交必定是一个 \(t\) 的 \(\text{border}\)。

求解 \(t\) 的 \(\text{border}\) 方法类似，只不过是 \(t\) 的自我匹配过程，利用的是之前已有的信息。

特别的，记 \(t[1,i]\) 的最长 \(\text{border}\) 为 \(nxt_i\)。

引理性质总结

引理 \(1\)：如果一个 \(s\) 的 \(\text{border}\) \(k\) 的长度不小于 \(s\) 的一半，那么 \(s\) 有一个长为 \(|k|\) 的 \(\text{period}\)。
逆定理同样成立。

引理 \(2\)：如果 \(p,q\) 都是周期，那么 \(gcd(p,q)\) 也是周期

引理 \(3\)：可以把字符串分为 \(\log\) 段，每一段的 \(nxt_i\) 都是一个等差数列。

一些练习