Codeforces Round 1006 (Div. 3)

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A. New World, New Me, New Array

题意：你要选\(n\)个值域在\([-p, p]\)之间数, 使得总和恰好为\(k\)。

\(k\)跟\(-k\)都是一样的，那么令\(k=|k|\)，每次填\(min(k, p)\)，然后\(k = k - min(k, p)\)。就能得到\(k\)。无解的情况就是\(n\times p < k\)。

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void solve() {int n, k, p;std::cin >> n >> k >> p;k = std::abs(k);if (p * n < k) {std::cout << -1 << "\n";return;}std::cout << (k + p - 1) / p << "\n";
}

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B. Having Been a Treasurer in the Past, I Help Goblins Deceive

题意：一个字符串分为两种字符：'-'和'_'。你可以重排字符串，使得子序列"-_-"最多。

我们应该让'-'放两边，中间放'_'。两边'-'的数量应该越接近越好。

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void solve() {int n;std::cin >> n;std::string s;std::cin >> s;i64 a = std::count(s.begin(), s.end(), '-');i64 b = std::count(s.begin(), s.end(), '_');i64 c = a / 2;std::cout << c * (a - c) * b << "\n";
}

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C. Creating Keys for StORages Has Become My Main Skill

题意：你要构造一个数组，使得所有数的或值等于\(x\)，并且使得\(mex\)最大。

从\(0\)到\(n-1\)找最大的前缀或和等于\(x\)的，那么前面填这些数，后面的都填\(x\)就行。

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void solve() {int n, x;std::cin >> n >> x;if (n == 1) {std::cout << x << "\n";return;}std::vector<int> ans(n);int sum = 0, max = 0, val = 0;for (int i = 0; i < n; ++ i) {sum |= i;if ((sum & x) == sum) {max = i;val = sum;}}if (max == n - 1 && (val & x) != x) {-- max;}int i = 0;while (i < n && max >= 0) {ans[i] = max -- ;++ i;}if (i < n) {for (int j = i; j < n; ++ j) {ans[j] = x;}}for (int i = 0; i < n; ++ i) {std::cout << ans[i] << " \n"[i == n - 1];}
}

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D. For Wizards, the Exam Is Easy, but I Couldn't Handle It

题意：左移数组的一个区间，使得逆序对最小。

左移一次相当于把\(i\)插到\(j\)的后面，对\([i + 1, j]\)和除\(i\)外的数没有影响。只需要计算这些数和\(i\)对逆序对的影响。那么我们枚举\(i\)，然后枚举\(j\)，暴力即可。

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void solve() {int n;std::cin >> n;std::vector<int> a(n);	for (int i = 0; i < n; ++ i) {std::cin >> a[i];}int sum = 0;for (int i = 0; i < n; ++ i) {for (int j = i + 1; j < n; ++ j) {if (a[i] > a[j]) {++ sum;}}}int l = 0, r = n - 1;int ans = sum;for (int i = 0; i < n; ++ i) {int v = sum;for (int j = i; j < n; ++ j) {if (a[j] < a[i]) {-- v;} else if (a[j] > a[i]) {++ v;}if (v < ans || (v == ans && r - l > j - i)) {ans = v;l = i, r = j;}}}std::cout << l + 1 << " " << r + 1 << "\n";
}

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E. Do You Love Your Hero and His Two-Hit Multi-Target Attacks?

题意：构造不超过\(500\)个点，使得欧几里得距离等于曼哈顿距离的点对恰好为\(k\)个。

这样的点对的\(x\)轴或者\(y\)轴一定相同，如果有\(n\)个\(x\)轴相同的，就有\(\frac{n(n-1)}{2}\)的贡献，那么我们一行一行的放，一直到贡献满足\(k\)就行了，注意每次放完一行列坐标得移到上一行最后的右边。

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void solve() {int k;std::cin >> k;std::vector<std::pair<int, int>> ans;int x = -1e9, y = -1e9;while (k) {int z = 0;while ((i64)z * (z + 1) / 2 <= k) {++ z;}k -= z * (z - 1) / 2;for (int i = 1; i <= z; ++ i, ++ x) {ans.push_back({x, y});}y += 1;}std::cout << ans.size() << "\n";for (auto & [x, y] : ans) {std::cout << x << " " << y << "\n";}
}

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F. Goodbye, Banker Life

题意：\(f[1][1] = k\)，\(f[i][j] = f[i - 1][j] \oplus f[i - 1][j - 1]\)。求第\(n\)行的值。

这题也是人类智慧，不过其实还是有理论的。
感觉递推式感觉应该和杨辉三角有关系，打表发现如果杨辉三角等于位置的数是奇数，那么值就是\(k\)，否则是\(0\)。那么就变成了求解\(C(n - 1, i)\)是奇数还是偶数。根据\(Lucas\)定理，在模运算下我们求解\(C(n, k)\)，对于一个质数\(p\)，可以把\(n, k\)分解为\(p\)进制数，那么答案就是\(p\)进制下对应数做组合数然后每一位的值乘起来。那么发现，如果\(2\)进制下\(n\)的第\(i\)位\(n_i\)和\(k\)的第\(i\)位\(k_i\)，如果\(k_i > n_i\)，那么值就是\(0\)，否则就是\(1\)，这意味着\(k\)的二进制表示下的\(1\)必须都在\(n\)里出现，即\(n \& k = k\)。

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void solve() {int n, k;std::cin >> n >> k;for (int i = 0; i < n; ++ i) {std::cout << (((n - 1) & i) == i ? k : 0) << " \n"[i == n - 1];}
}