初等数论

前言

笔者在高中时期就对初等数论的知识充满兴趣，但由于一些原因，对数论也只不过是浅尝辄止。如今迈入大学，笔者才终于有机会深入探索这一数学分支。

本文将以柯召与孙琦两位学者所编著的《数论讲义》为参考，梳理总结初等数论的相关知识。

第一章  整除与唯一分解定理

1 整除性

我们先给出整除的定义与其性质.

定义 1 (整除). 设 \(a,b\in \mathbb{Z}\), 其中 \(b\neq 0\), 如果存在
\(q\in \mathbb{Z}\) 使得等式 $$a=bq$$

成立，我们就称 \(b\) 整除 \(a\)，记作 \(b\mid a\)，此时 \(b\) 被称为 \(a\)
的因数，\(a\) 被称为 \(b\) 的倍数. 如果 \(q\) 不存在，则 \(b\) 不整除
\(a\)，记作 \(b\nmid a\) .

命题 1 (关于整除的几条性质). 我们设 \(a,b,c\in \mathbb{Z}\).
那么下面一些关于整除的性质是必然成立的：

1.传递性：\(c\mid b\) 且 \(c\mid a\), 则一定有 \(c\mid a\).

2. \(b\mid a\), 则 \(cb\mid ca\).

3. \(cb\mid ca\) 且 \(c\neq 0\), 则 \(b\mid a\).

4.线性组合：\(c\mid a\) 且 \(c\mid b\), 则 \(c\mid ma+nb\). 其中
\(m,n\in \mathbb{Z}\).

5. 若 \(b\mid a, a\neq 0\), 则 \(\frac{a}{b}\mid a\)

6. 若 \(b\mid a, a\neq 0\), 则 \(|b|\leqslant |a|\)

7. \(b\mid a\Rightarrow \pm b\mid \pm a\)

8. \(\forall a\in \mathbb{Z}\) 且 \(a\neq 0\), 其因数一定为有限个.

下面的定理十分的重要，是整除理论的基石.

定理 1 (1.1.1). 设 \(a,b\in \mathbb{Z}\), 其中 \(b>0\),
则存在两个唯一的整数 \(q,r\), 使得等式 $$a=bq+r, 0\leqslant r<b$$

成立.

Proof. 首先证明唯一性. 我们作一个整数序列

\[..., -3b, -2b, -b, 0, b, 2b, 3b, ...,$$ 则对于整数 $a$, 必然存在另一个整数 $q$ 满足如下关系： $$qb\leqslant a<(q+1)b\]

因此又存在一个整数 \(r\) 使得 \(a=qb+r\), 即 \(r=a-qb\), 且 \(0\leqslant r<b\).
存在性得证.

接下来我们证明唯一性. 设
\(\exists\ q_1,r_1\in \mathbb{Z}\ s.t.\ a=q_1b+r_1\) 且
\(q\neq q_1, r\neq r_1\). 则有： $$qb+r=q_1b+r_1$$ $$b|q-q_1|=|r-r_1|$$

由于左式的值大于等于 \(b\), 右式的值因为 \(0\leqslant r<b\) 从而小于 \(b\),
矛盾. 所以 \(q,r\) 是唯一的. ◻

这个式子叫做除法算式，其中 \(q\) 叫做 \(a\) 被 \(b\) 除得出的
不完全商，\(r\) 叫做 \(a\) 被 \(b\) 除得出的 余数
或最小非负剩余，常记作 \(<a>_b=r\).

不引起混淆的情况下，\(<a>_b\) 中的 \(b\) 可以省略不写.

下面列出两条关于 \(<a>\) 的一些性质.

定理 2 (1.1.2). 设 \(a_1,a_2,b\in \mathbb{Z}\), 其中 \(b>0\),
我们有如下命题

1. \(<a_1\pm a_2>\ =\ <<a_1>\pm<a_2>>\).

2. \(<a_1a_2>\ =\ <<a_1><a_2>>\).

在这里还给出对任意整数的一种表示方法.

定理 3 (1.1.3 整数的 \(m-adic\) 表示法（\(m\) 进制表示法）). *设
\(m\in \mathbb{Z}\) 且 \(m>1\), 那么 \(\forall n\in \mathbb{Z}\) 可唯一表示为

\[n=a_0+a_1m+a_2m^2+...+a_km^k \]

\[(k\geqslant 0,\ m^k\leqslant n<m^{k+1},\ 0\leqslant a_i\leqslant m-1,\ 0\leqslant i\leqslant k,\ a_k\neq 0) \]

并称其为 \(n\) 的 \(m-adic\) 表示.*

2 最大公因数与辗转相除法

首先给出公因数与最大公因数的定义.

定义 2. 设 \(a_1,a_2,...,a_n\) 为 \(n\) 个不全为 \(0\) 的整数. 若
\(\exists b\in \mathbb{Z}\ s.t.\ b\mid a_i\), 其中
\(1\leqslant i\leqslant n\). 我们就称 \(b\) 为这 \(n\) 个整数的一个公因数.
显然这 \(n\) 个整数的公因数个数是有限的,
这其中最大的一个公因数我们就称之为最大公因数（Greatest Common
Divisor）, 并记作 \(\gcd (a_1,...,a_n)\) 或者 \((a_1,...,a_n)\).

我们有下面的定理.

定理 4 (1.2.1). 设 \(a,b,c\in \mathbb{Z}\) 且不全为零,
如果三者满足等式 $$a=qb+c$$ 其中 \(q\in \mathbb{Z}\), 那么有
\((a,b)=(b,c)\).

Proof. 设 \(d_1=(a,b), d_2=(b,c)\). 则 $$d_1\mid a,\ \ d_1\mid b$$
又根据 \(a=qb+c\) 与整除的线性组合性质, 可以得到 $$d_1|a-qb=c$$ 所以
\(d_1\leqslant d_2\).

反过来, 又有 $$d_2\mid b,\ \ d_2\mid c$$ 又根据 \(a=qb+c\)
与整除的线性组合性质, 可以得到 $$d_2|qb+c=a$$ 所以 \(d_2\leqslant d_1\).
故 \(d_1=d_2\), 也就是 \((a,b)=(b,c)\). ◻

对于最大公因数，它满足下列的一些性质

命题 2 (最大公因数的性质). 设 \(a,b,c\in \mathbb{Z}\), 则

1. \((a,b,c)\ =\ (|a|,|b|,|c|)\).

2.结合律：\((a,b,c)\ =\ (a,(b,c))\).

*3.交换律：\((a,b)\ =\ (b,a)\).

如何求最大公因数是一个重要的问题，古希腊数学家欧几里得给出了名为辗转相除法（也称欧式算法）的一个办法.
此方法反复利用定理1.2.1，从而求得最大公因数. 设 \(a,b\in \mathbb{Z}\) 且
\(a>b>1\)，我们想求 \((a,b)\). 而这两个数满足关系 $$a=bq_1+r_1,\ 0<r_1<b$$
据定理1.2.1，我们可以去求 \((b,r_1)\)，从而有 $$b=r_1q_1+r_2,\ 0<r_1<r_2$$
同理可以求 \((r_1,r_2)\)，经过一系列操作可以得到

\[r_{n-1}=r_nq_{n+1}+r_{n+1},\ r_{r+1}=0$$ 则 $r_n=(r_n,0)=(r_{n-1},r_n)=...=(a,b)$，这就是辗转相除法的过程.下面一个重要的定理就是由辗转相除法得到的.**定理 5** (1.2.2 裴蜀定理). *设 $a,b\in \mathbb{Z}$ 且 $a,b>0$, 则 $\exists\ x,y\in \mathbb{Z}$ 使得 $$(a,b)=ax+by$$**Proof.* 设 $a,b\in \mathbb{Z},\ r_n=(a,b)$, 据辗转相除法，有 $$r_n=r_{n-2}-q_{n-1}r_{n-1}=r_{n-2}-q_{n-1}(r_{n-3}-q_{n-2}r_{n-2})=...\]

最终等式右边一定可以化为 \(ax+by\) 的形式，其中 \(x,y\in \mathbb{Z}\). ◻

根据这个定理，又可以得到一个推论.

推论 1 (1.2.1). 设 \(a,b\in\mathbb{Z}\), 则 \(a,b\) 的所有公因数都是
\((a,b)\) 的因数.

裴蜀定理存在它的推广形式.

定理 6 (1.2.2' 裴蜀定理的推广形式). *设
\(a_1,a_2,...,a_n\in \mathbb{Z}\) 且这 \(n\) 个整数都大于 \(0\), 则
\(\exists\ x_1,x_2,...,x_n\in \mathbb{Z}\) 使得

\[(a_1,...,a_n)=\sum_{k=1}^{n}a_kx_k$$*利用数学归纳法即可证明.几个整数的最大公因数为 $1$ 时是个特殊且重要的情况.**定义 3** (互素/互质). *设 $a_1,a_2,...,a_n\in\mathbb{Z}$, 如果 $(a_1,...,a_n)=1$, 那么就称这 $n$ 个整数**互素**或**互质**. 若 $(a_i,a_j)=1\ (1\leqslant i,j\leqslant n,\ i\neq j)$, 就称这 $n$ 个整数两两互素.这里我们又给出关于互素的一些引理.**引理 1** (1.2.1 欧几里得引理). *设 $a,b,c\in \mathbb{Z}$, 若 $c\mid ab$ 且 $(a,c)=1$, 则 $c\mid B$.*Proof.* 据裴蜀定理有 $$1=ax+cy,\ x,y\in\mathbb{Z}$$ 两边同时乘上 $b$, 得到 $$b=ab\cdot x+c\cdot by$$ 由 $c\mid ab$ 且 $c\mid cby$ 可以得到 $c\mid b$. ◻**引理 2** (1.2.2). *设 $a,b,c\in \mathbb{Z}$, 若 $a\mid c,\ b\mid c,\ (a,b)=1$, 则 $ab\mid c$*Proof.* $\exists\ k_1\in\mathbb{Z}$, 使得 $c=k_1a$. 自然有 $b\mid k_1a$. 又因为 $(a,b)=1$, 则由引理1.2.1可以得到 $b\mid k_1$, 则 $\exists\ k_2\in\mathbb{Z}$ 使得 $k_1=k_2b$, 故 $c=k_2ab$, 即 $ab\mid c$. ◻这个引理有它的推广形式.**引理 3** (1.2.2'). *设 $a_1,a_2,...,a_n\in\mathbb{Z}$ 两两互素, 且这 $n$ 个整数都是整数 $b$ 的因子, 则有等式 $$\prod_{k=1}^{n}a_k\mid b\]

引理 4 (1.2.3). *设 \(a,b,c\in \mathbb{Z}\), 若 \((a,b)=(b,c)=1\), 则
\((ab,c)=1\).

Proof. 据裴蜀定理有 $$ax+cy=1,\ bz+cw=1$$ 其中 \(w,x,y,z\in\mathbb{Z}\).
两个式子相乘一定可以得到 \(abQ_1+cQ_2=1\) 的形式, 其中
\(Q_1,Q_2\in\mathbb{Z}\). ◻

同样的，这个引理也有它的推广形式.

引理 5 (1.2.3'). 对 \(a_1,a_2,...,a_n\in\mathbb{Z}\), 若这 \(n\)
个整数都与整数 \(b\) 互素, 则 \((\prod_{k=1}^{n}a_k,b)=1\)

裴蜀定理告诉我们，如果对于 \(a_1,...,a_n\in\mathbb{Z}\),
\((a_1,...,a_n)=1\), 则 \(\exists\ x_1,...,x_n\in\mathbb{Z}\), 使得
\(\sum_{k=1}^{n}a_kx_k=1\). 但是反过来行不行呢？答案其实是肯定的.

定理 7 (1.2.3). 设 \(a_1,...,a_n\in\mathbb{Z}\), 则 \((a_1,...,a_n)=1\)
当且仅当 \(\exists\ x_1,...,x_n\in\mathbb{Z}\), 使得
\(\sum_{k=1}^{n}a_kx_k=1\).

Proof. 我们只证明后面的条件可以推出前面的条件.

令 \(d=(a_1,...,a_n)\), 显然 \(d\mid a_i\ (1\leqslant i\leqslant n)\), 自然
\(d\mid \sum_{k=1}^{n}a_kx_k=1\), 故 \(d=1\). ◻

to be continued...