AGC070A Multiples in the String
太难。
AGC070B Odd Namori
考虑给每个点钦定一个出边，得到一张图，那么要求就是不能有偶环，要计算的是 \(2^{\text{奇环个数}}\)。
将贡献看成钦定奇环的方案数，那么就是每钦定一个偶环就乘 \(-1\) 的容斥系数，每钦定一个奇环就乘 \(1\) 的系数。
自然地考虑凑个行列式，对于 \(p_i = i\) 的点，认为它是出边随便连的点；对于一个长为 \(k\) 的环，它有 \(k - 1\) 个逆序对，我们认为它的容斥系数是 \((-1)^{k-1}\)，这样就凑出行列式。
记邻接矩阵为 \(A\)，度数矩阵为 \(D\)，那么根据上面的分析，答案显然为 \(\operatorname{det}(A +D)\)。
考虑模拟高斯消元，过程比较简单（难以描述）。
时间复杂度 \(O(n \log V)\)。
AGC070C No Streak
一定是恰好平局 \(M = N - A - B\) 次。
考虑看成二维平面上的折线，记 \(F(n, m, k)\) 表示走到 \((n, m)\)，不跨过 \(y = x\)，且恰好有 \(k\) 个拐点的方案数，那么答案为：
\[\sum_{1 \le k \le N} \binom{M + k +1}{A + B} \cdot F(A, B, k)
\]
先考虑没有 \(y = x\) 相关的限制怎么做，记 \(f(n, m, k)\) 表示从 \((0, 0)\) 走到 \((n, m)\)，恰好有 \(k\) 个拐点的方案数，通过简单的分类讨论可以得到：
\[f(n, m, k) = \begin{cases}
\displaystyle 2 \binom{n - 1}{\frac{k - 1}{2}} \binom{m - 1}{ \frac{k - 1}{2}} &, \text{ if } k \equiv 1 \pmod 2 \\
\displaystyle \binom{n - 1}{\frac{k}{2} - 1} \binom{m- 1}{\frac{k}{2}} + \binom{n - 1}{\frac{k}{2}} \binom{m - 1}{\frac{k}{2} - 1}&, \text{ if } k \equiv 1 \pmod 2 \\
\end{cases}
\]
现在来解决不能穿过 \(y = x\) 这个限制。
对于一般的情况，我们通常是通过反射容斥的方式来解决这个问题。
但是这里的问题是通过反射容斥的方式翻折后转折点个数是不好确定的，所以考虑构造双射使得翻折后转折点个数恰好减少 1：
- 找到不合法的折线与 \(y = x-1\) 第一次接触的位置，并翻折形成走到 \((n+1, m-1)\) 的折线。
- 若这条折线与 \(y = x - 1\) 相交后走的第一步 \((1, 0)\)，将交点后到这一步之间的部分（包括这一步）全部删掉，形成新的折线。
不难验证转折点个数一定减少 1，这样就构造出了符合条件的双射。
考虑枚举相交后向上走的步数，可以得到：
\[F(n, m, k) = f(n, m, k) - \sum_{i \ge 0} f(m - i - 1, n, k - 1)
\]
当 \(k\) 是奇数时：
\[\begin{aligned}
F(n, m, k) &= f(n, m, k) - \sum_{i \ge 0} f(m - i - 1, n, k - 1) \\
&= 2 \binom{n - 1}{\frac{k - 1}{2}} \binom{m - 1}{ \frac{k - 1}{2}} - \sum_{i \ge 0} \left( \binom{m - i - 2}{\frac{k-1}{2} - 1} \binom{n- 1}{\frac{k-1}{2}} + \binom{m - i - 2}{\frac{k-1}{2}} \binom{n - 1}{\frac{k-1}{2} - 1} \right) \\
&= 2 \binom{n - 1}{\frac{k - 1}{2}} \binom{m - 1}{ \frac{k - 1}{2}} - \sum_{m - 2 - i \ge 0} \binom{m - (m - 2 - i) - 2}{\frac{k-1}{2} - 1} \binom{n- 1}{\frac{k-1}{2}} - \sum_{m - 2 - i \ge 0}\binom{m - (m - 2 - i) - 2}{\frac{k-1}{2}} \binom{n - 1}{\frac{k-1}{2} - 1} \\
&= 2 \binom{n - 1}{\frac{k - 1}{2}} \binom{m - 1}{ \frac{k - 1}{2}} - \binom{n- 1}{\frac{k-1}{2}} \sum_{i \le m - 2} \binom{i}{\frac{k-1}{2} - 1} - \binom{n - 1}{\frac{k-1}{2} - 1} \sum_{i \le m - 2}\binom{i}{\frac{k-1}{2}} \\
&= 2 \binom{n - 1}{\frac{k - 1}{2}} \binom{m - 1}{ \frac{k - 1}{2}} - \binom{n- 1}{\frac{k-1}{2}} \binom{m-1}{\frac{k-1}{2}} - \binom{n - 1}{\frac{k-1}{2} - 1} \binom{m-1}{\frac{k+1}{2}} \\
&= \binom{n - 1}{\frac{k - 1}{2}} \binom{m - 1}{ \frac{k - 1}{2}} - \binom{n - 1}{\frac{k-1}{2} - 1} \binom{m-1}{\frac{k+1}{2}} \\
\end{aligned}
\]
当 \(k\) 是偶数时：
\[\begin{aligned}
F(n, m, k) &= f(n, m, k) - \sum_{i \ge 0} f(m - i - 1, n, k - 1) \\
&= \binom{n - 1}{\frac{k}{2} - 1} \binom{m- 1}{\frac{k}{2}} + \binom{n - 1}{\frac{k}{2}} \binom{m - 1}{\frac{k}{2} - 1} - \sum_{i \ge 0} 2 \binom{m - i - 2}{\frac{k - 2}{2}} \binom{n - 1}{ \frac{k - 2}{2}} \\
&= \binom{n - 1}{\frac{k}{2} - 1} \binom{m- 1}{\frac{k}{2}} + \binom{n - 1}{\frac{k}{2}} \binom{m - 1}{\frac{k}{2} - 1} - 2 \binom{n - 1}{ \frac{k - 2}{2}} \sum_{m - 2 - i \ge 0} \binom{m - (m - 2 - i) - 2}{\frac{k - 2}{2}} \\
&= \binom{n - 1}{\frac{k}{2} - 1} \binom{m - 1}{\frac{k}{2}} + \binom{n - 1}{\frac{k}{2}} \binom{m - 1}{\frac{k}{2} - 1} - 2 \binom{n - 1}{ \frac{k - 2}{2}} \sum_{i \le m - 2} \binom{i}{\frac{k - 2}{2}} \\
&= \binom{n - 1}{\frac{k}{2} - 1} \binom{m- 1}{\frac{k}{2}} + \binom{n - 1}{\frac{k}{2}} \binom{m - 1}{\frac{k}{2} - 1} - 2 \binom{n - 1}{ \frac{k - 2}{2}} \binom{m - 1}{\frac{k}{2}} \\
&= \binom{n - 1}{\frac{k}{2}} \binom{m - 1}{\frac{k}{2} - 1} - \binom{n - 1}{ \frac{k}{2} - 1} \binom{m - 1}{\frac{k}{2}} \\
\end{aligned}
\]
时间复杂度线性。
后面的俩太难了 /ll
