X-DataInitiative/tick 是一个关于 Hawkes Process 的 Python 实现，核心功能是给定 Point process 的若干样本，他能计算出一个 Non parametric 的 Hawkes Process 来拟合这个 Point process。
本文的任务就是搞明白这个 package，从而把这个 package 改良以应用到预测订单（市价单、限价单、撤单）流的强度。
Point Process & Counting Process
Point Process 是指某个空间中分布的随机点的集合，当这个空间是时间轴的时候，我们可以认为在随机发生事件，发生的时间是 \(T_1, T_2, ...\)
Counting Process \(N_t\) 是 Point Process 的另一种等价刻画，他也是定义在一个空间上的随机变量族，当这个空间是时间轴的时候，可以视为一个随机过程， \(N_t\) 表示到时间 \(t\) 位置，发生了多少个事件。
\[N_t:= \sum_{i=1} [T_i \leq t]
\]
我们可以把市价单，限价单，撤单当做事件序列分别建立他们的 Point Process 和 Counting Process.
Poisson Process
Poisson Process 和 Hawkes Process 都是一种 Point Process，先来看比较简单的 Poisson Process 来引入一些直观的概念。
Poisson Distribution
概率论的内容，可以视作在描述一个很长的时间段内，一个很小概率发生事件发生的次数（即二项分布 $n \rightarrow \infty $ ， \(p\) 很小时的近似）
\[P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
\]
由 \(e^x\) 在 \(0\) 处的泰勒展开容易计算这个分布的期望就是 \(\lambda\)
