伯努利方程
伯努利方程并非一个独立的定律,而是在不同条件下由 Navier-Stokes 动量方程(式1)和能量方程(式2)推导而来的。
\[\rho\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial t} + u_{i}\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x_{j}}+\rho g_{j}+\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left[\mu\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\right)+\left(\mu_{v}-\frac{2}{3}\mu\right)\frac{\partial u_{m}}{\partial x_{m}}\delta_{ij}\right] \tag{1}
\]
\[\rho\frac{De}{Dt}=-p\frac{\partial u_{m}}{\partial x_{m}} + 2\mu\left(S_{ij}-\frac{1}{3}\frac{\partial u_{m}}{\partial x_{m}}\delta_{ij}\right)^{2}+\mu_{v}\left(\frac{\partial u_{m}}{\partial x_{m}}\right)^{2}+\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(k\frac{\partial T}{\partial x_{i}}\right) \tag{2}
\]
考虑无粘流动时\(\mu = \mu_v = 0\),重力是唯一的体积力,因此式1就简化为欧拉方程
\[\frac{\partial u_{j}}{\partial t}+u_{i}\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}}-\frac{\partial \varPhi}{\partial x_{j}} \tag{3}
\]
式中:\(\varPhi = gz\) 表示体积势函数;\(g\)为重力加速度;z轴为垂直方向,如果流动是正压流动,那么\(\rho = \rho(p)\),并且:
\[\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_j}=\frac{\partial }{\partial x_j}\int_{p_0}^{p}\frac{dp'}{\rho(p')} \tag{4}
\]
式中,\(dp/\rho\)是全微分,\(p_0\)是参考压力,\(p'\)是积分变量。在上式中,积分置于端点有关,而与积分路径无关。恒密度、等温以及等熵流动都是正压流动(barotropic)。除此之外式3中对流加速度可以改写成速度-涡量的向量积和单位质量动能梯度的形式
\[u_{i}\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}=-(\mathbf{u} \times \boldsymbol{\omega})_{j}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\frac{1}{2}u_{i}^{2}\right) \tag{5}
\]
将式(5)和式(4)带入到式(3)中:
\[\frac{\partial u_{j}}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x_{j}}\left[\frac{1}{2}u_{i}^{2}+\int_{p_0}^{p}\frac{dp'}{\rho(p')}+gz\right]=(\mathbf{u} \times \boldsymbol{\omega})_{j} \tag{6}
\]
所有的梯度项都被合并成了伯努利函数B,即中括号中的内容。式(6)可以用于推导无粘正压流动伯努利方程的演化。
首先考虑定常流动(\(\partial u_j/\partial t = 0\)),这样式(6)简化成
\[\nabla B=\mathbf{u}\times\boldsymbol{\omega} \tag{7}
\]
左端项是正交于常数曲面B的向量,右端项是同时垂直于\(\boldsymbol{u}\)和\(\boldsymbol{\omega}\)的向量。如图所示,

这是一个由流线和涡线定义的曲面,在该曲面上,伯努利函数是一个常量,注意流线和涡线可以为任一方位。
由此可知B为常数的曲面必定包含流线和涡线,因此,无粘、定常、正压流动满足:
\[\frac{1}{2}u_{i}^{2}+\int_{p_0}^{p}\frac{dp'}{\rho(p')}+gz = 沿流线和涡线为常数值 \tag{8}
\]
这是伯努利几种可能方程的第一种形式,另外,如果流动无旋(\omega = 0) 的,那么式(7)就有
\[\frac{1}{2}u_{i}^{2}+\int_{p_0}^{p}\frac{dp'}{\rho(p')}+gz=\text{constant everywhere} \tag{9}
\]
可以证明,存在包含流线和涡线的曲面的充分条件是流动为正压流动,顺便说一下,这种类型的曲面称为 Lamb surfaces ,是为了纪念杰出的英国应用数学家和流体力学家霍勒斯・兰姆。
在一般的非正压流动中,可以在流场中的任意两点之间绘制由流线和涡线段组成的路径。那么式(8)是有效的,条件是在所选的特定路径上计算积分。如前文所述,(式(8)要求流动是定常的、无粘性的,并且只有重力(或其他保守)体积力作用于其上。
我们在此仅指出一个要点:在非旋转参考系中,如果粘性效应可以忽略不计,正压无旋流动将保持无旋。考虑绕固体物体的流动,比如翼型(如图所示)。

在靠近物体表面的薄粘性层(称为边界层)之外的所有点处,流动都是无旋的。这是因为在粘性层之外的流线上的粒子 P 从某点 S 出发,在 S 点处流动是均匀的,因此是无旋的。所以,在这个例子中,伯努利方程式(9)在粘性层之外的所有地方都成立。