Bernoulli Equation

伯努利方程

伯努利方程并非一个独立的定律，而是在不同条件下由 Navier-Stokes 动量方程（式1）和能量方程（式2）推导而来的。

\[\rho\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial t} + u_{i}\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x_{j}}+\rho g_{j}+\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left[\mu\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\right)+\left(\mu_{v}-\frac{2}{3}\mu\right)\frac{\partial u_{m}}{\partial x_{m}}\delta_{ij}\right] \tag{1} \]

\[\rho\frac{De}{Dt}=-p\frac{\partial u_{m}}{\partial x_{m}} + 2\mu\left(S_{ij}-\frac{1}{3}\frac{\partial u_{m}}{\partial x_{m}}\delta_{ij}\right)^{2}+\mu_{v}\left(\frac{\partial u_{m}}{\partial x_{m}}\right)^{2}+\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(k\frac{\partial T}{\partial x_{i}}\right) \tag{2} \]

考虑无粘流动时\(\mu = \mu_v = 0\)，重力是唯一的体积力，因此式1就简化为欧拉方程

\[\frac{\partial u_{j}}{\partial t}+u_{i}\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}}-\frac{\partial \varPhi}{\partial x_{j}} \tag{3} \]

式中：\(\varPhi = gz\) 表示体积势函数；\(g\)为重力加速度；z轴为垂直方向，如果流动是正压流动，那么\(\rho = \rho(p)\)，并且：

\[\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_j}=\frac{\partial }{\partial x_j}\int_{p_0}^{p}\frac{dp'}{\rho(p')} \tag{4} \]

式中，\(dp/\rho\)是全微分，\(p_0\)是参考压力，\(p'\)是积分变量。在上式中，积分置于端点有关，而与积分路径无关。恒密度、等温以及等熵流动都是正压流动（barotropic）。除此之外式3中对流加速度可以改写成速度-涡量的向量积和单位质量动能梯度的形式

\[u_{i}\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}=-(\mathbf{u} \times \boldsymbol{\omega})_{j}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\frac{1}{2}u_{i}^{2}\right) \tag{5} \]

将式（5）和式（4）带入到式（3）中：

\[\frac{\partial u_{j}}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x_{j}}\left[\frac{1}{2}u_{i}^{2}+\int_{p_0}^{p}\frac{dp'}{\rho(p')}+gz\right]=(\mathbf{u} \times \boldsymbol{\omega})_{j} \tag{6} \]

所有的梯度项都被合并成了伯努利函数B，即中括号中的内容。式（6）可以用于推导无粘正压流动伯努利方程的演化。

首先考虑定常流动（\(\partial u_j/\partial t = 0\)），这样式（6）简化成

\[\nabla B=\mathbf{u}\times\boldsymbol{\omega} \tag{7} \]

左端项是正交于常数曲面B的向量，右端项是同时垂直于\(\boldsymbol{u}\)和\(\boldsymbol{\omega}\)的向量。如图所示，

这是一个由流线和涡线定义的曲面，在该曲面上，伯努利函数是一个常量，注意流线和涡线可以为任一方位。

由此可知B为常数的曲面必定包含流线和涡线，因此，无粘、定常、正压流动满足：

\[\frac{1}{2}u_{i}^{2}+\int_{p_0}^{p}\frac{dp'}{\rho(p')}+gz = 沿流线和涡线为常数值 \tag{8} \]

这是伯努利几种可能方程的第一种形式，另外，如果流动无旋（\omega = 0） 的，那么式（7）就有

\[\frac{1}{2}u_{i}^{2}+\int_{p_0}^{p}\frac{dp'}{\rho(p')}+gz=\text{constant everywhere} \tag{9} \]

可以证明，存在包含流线和涡线的曲面的充分条件是流动为正压流动，顺便说一下，这种类型的曲面称为 Lamb surfaces ，是为了纪念杰出的英国应用数学家和流体力学家霍勒斯・兰姆。

在一般的非正压流动中，可以在流场中的任意两点之间绘制由流线和涡线段组成的路径。那么式（8）是有效的，条件是在所选的特定路径上计算积分。如前文所述，（式（8）要求流动是定常的、无粘性的，并且只有重力（或其他保守）体积力作用于其上。

我们在此仅指出一个要点：在非旋转参考系中，如果粘性效应可以忽略不计，正压无旋流动将保持无旋。考虑绕固体物体的流动，比如翼型（如图所示）。

在靠近物体表面的薄粘性层（称为边界层）之外的所有点处，流动都是无旋的。这是因为在粘性层之外的流线上的粒子 P 从某点 S 出发，在 S 点处流动是均匀的，因此是无旋的。所以，在这个例子中，伯努利方程式（9）在粘性层之外的所有地方都成立。