因式分解：轮换式与对称式

0x00 定义：轮换式与对称式

对称式：关于 \(x\)、\(y\) 的多项式，如果互换字母而多项式仍然保持不变，则称为关于 \(x\)、\(y\) 的对称式。
对于三元的情况，互换任意两个字母仍保持不变则是三元对称式。

轮换式：关于 \(x\)、\(y\)、\(z\) 的多项式，如果将字母轮换，即 \(x->y，y->z，z->x\)，多项式仍保持不变的，成为关于 \(x\)、\(y\)、\(z\) 的轮换式。
对于更多元的情况亦是如此。
容易看出对称式一定是轮换式，但是轮换式不一定是对称式。

两个轮换式经过四则运算（规定除式整除被除式）仍然是轮换式。

0x01 典型方法：试根

首先声明一点本文默认读者掌握了因式定理。如果还不会的可以去网上搜搜。轮换对称的一大典型方法就是试根。尝试出一个因式后，可以判断原式是否是轮换式，这样就可以一下判断出很多因式。

先来看一道题：

\(\Large\mathbf{P}\)\(\mathbf{ROBLEM 1}\)

\(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\)

\(\mathbf{sol}\)

很简单，用因式定理即可。可以看出 \(x=y\) 时原式=0，因为原式是一个三元轮换式，所以 \((x-y),(y-z),(z-x)\) 都是它的因式。由于原式是一个三次齐次式，因此我们知道这三个因式之积和分解式最多相差一个常数 \(k\)。用待定系数法比较系数可得到 \(k=-1\)。

这就是轮换对称的典型方法。让后再来看一道类似的

\(\Large\mathbf{P}\)\(\mathbf{ROBLEM 2}\)

\(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)\)

\(\mathbf{sol}\)

用第一题的方法可以得到原式有因式 \((x-y)(y-z)(z-x)\)。由于原式是一个四次齐次式，因此二者之间相差一个一次齐次式。不妨设这个齐次式为 \(k(a+b+c)\)。剩余部分就是待定系数法比较即可。

随后来看点不一样的。三次齐次式的分解。

\(\Large\mathbf{P}\)\(\mathbf{ROBLEM 3}\)

\((a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3\)

\(mathbf{sol}\)

本题思路与上述题目一样，但是求根方法有些许不同。在这里我们用的方法是令某个元等于0。当 \(a=0\) 时原式=0，因此我们知道 \(a\) 是分解式的一个因式。同样的，由于原式是三元齐次轮换式，所以 \(a,b,c\) 都是原式的因式。剩余步骤与1、2类似，求常数系数 \(k\)。此处用待定系数法有些麻烦，所以用赋值法，让得到的结果尽可能小再比较即可（此处的值必须使得 \(abc=1\)，否则就无法求出 \(k\) 了。）