\[\newcommand{\b}{\boldsymbol}
\newcommand{\d}{\mathrm d}
\newcommand{\dt}{\dot}
\newcommand{\ddt}{\ddot}
\newcommand{\h}{\hat}
\newcommand{\t}{\text}
\]
前传（？）：时与空的夹缝中转圜的古烈干。
前前传（？）：圣瘸子帖木儿将变幻福音播撒向全世界。
Lamé 系数考察 空间 下的 微分同胚 意义时的坐标系变换。其不含时。
Coriolis 加速度考察 时间 下的 坐标系刚体运动 意义时的坐标系变换。其不含空。
而本节，我们将考察另一种条件下的坐标系变换：其比 Coriolis 变换要更弱一筹，只研究 坐标系平移运动 意义时的坐标系变换。既然条件更简单了，那么适用范围势必将扩大。
Lamé 系数是是纯粹的 微分几何学 产物。
Coriolis 加速度是纯粹的 运动学 产物，将其转化为 Coriolis 力仅仅使用了 动力学 中 Newton 第二定律这一条性质。
而本节，我们将着眼于 动力学 中更广泛的一些事物。
以下，总是令 R 为某惯性系，而 R' 为相对而言的另一系。不带 ' 的是 R 中的量，而带 ' 的则是 R' 中的量。
当 R' 的原点在 R 中的坐标是 \(\b r_0\)、速度是 \(\b v_0\)、加速度是 \(\b a_0\) 时：
\[\b r'=\b r-\b r_0
\\\b v'=\b v-\b v_0
\\\b a'=\b a-\b a_0
\]
\[\\\b F'=\b F-m\b a_0;\b F_a:=-m\b a_0\implies\b F'=\b F+\b F_a
\]
其它例如动量、角动量之类的，因为任意非惯性系没有什么良好的性质，所以直接当作有一个额外的 \(\b F_a\) 的力的惯性系讨论即可。
尝试讨论多物体系统的性质。
多物体系统时，定义系统的总质量、总动量、总角动量、总动能分别为
\[m^\t{sys}=\sum m_i
\\\b p^\t{sys}=\sum\b p_i
\\\b L^\t{sys}=\sum\b L_i
\\K^\t{sys}=\sum K_i
\]
物体 \(i\) 的受力是外界受力 \(\b F_i^\t{ext}\) 和内部相互作用力 \(\b F_{ji}\) 的总和。因为内部受力的抵消所以有
\[\b F^\t{ext}=\sum\dt{\b p}_i=\dt{\b p}^\t{sys}
\]
因此，总外力为零时，内部总动量守恒。
角动量的场合，有
\[\dt{\b L}^\t{sys}=\sum\dt{\b L}_i=\sum\b\tau_i=\sum\b r_i\times(\b F_i^\t{int}+\b F_i^\t{ext})
\]
但是，考虑两个质点 \(\b r_i,\b r_j\) 分别受等大反向且沿 \(\b r_{ij}\) 的力 \(\b F_{ji},\b F_{ij}\)，则有二者的总扭矩
\[\b\tau=\b r_i\times\b F_{ji}+\b r_j\times\b F_{ij}
\\=(\b r_i-\b r_j)\times\b F_{ji}
\\=\b r_{ij}\times\b F_{ji}=\b0
\]
因此，作用方向沿连线的内部力对角动量没有影响。因为全部四种基本力都满足该性质，所以我们可以得出 \(\b\tau^\t{int}=\b0\) 的性质。于是有
\[\dt{\b L}^\t{sys}=\b\tau^\t{ext}
\]
经典力学 中的宏观力，如果是“超距”力（重力、电磁力）则都满足该性质，否则“接触”力（摩擦力、张力）都有 \(\b r_i=\b r_j\) 因此也满足该性质。
定义 质心 (center of mass, COM) 为 \(\b r^\t{com}=\dfrac{\sum m_i\b r_i}{\sum m_i}\)。COM 既然是一个点，那么就可以计算其速度、加速度
\[\b v^\t{com}=\dfrac{\sum m_i\b v_i}{\sum m_i}
\\\b a^\t{com}=\dfrac{\sum m_i\b a_i}{\sum m_i}
\]
特别地，通过想象所有质量集中于质心，可以对 COM 定义动量、角动量、动能
\[\b p^\t{com}=m^\t{sys}\b v^\t{com}=\sum m_i\b v_i=\sum\b p_i=\b p^\t{sys}
\\\b L^\t{com}=\b r^\t{com}\times\b p^\t{com}
\\K^\t{com}=\dfrac12m^\t{sys}\|\b v^\t{com}\|^2
\]
于是有
\[\b F^\t{ext}=\sum\dot{\b p}_i=\dot{\b p}^\t{com}=m^\t{sys}\b a^\t{com}
\]
在从 R 系换到 R' 系的过程中，有
\[\b p'^\t{sys}=\b p^\t{sys}-m^\t{sys}\b v_0=\b p^\t{sys}-\b p_0
\\\b L'^\t{sys}=\sum\b r_i'\times\b p_i'
\\=\sum(\b r_i-\b r_0)\times(m_i\b v_i-m_i\b v_0)
\\=\sum\b r_i\times\b p_i-\dfrac{\sum m_i\b r_i}{m^\t{sys}}\times m^\t{sys}\b v_0-\b r_0\times\sum m_i\b v_i+\sum m_i\b r_0\times\b v_0
\\=\b L^\t{sys}-\b r^\t{com}\times\b p_0-\b r_0\times\b p^\t{sys}+\b r_0\times\b p_0
\\K'^\t{sys}=\sum\dfrac12m_i\|\b v_i'\|^2
\\=\sum\dfrac12m_i\|\b v_i-\b v_0\|^2
\\=\dfrac12\sum m_i(\|\b v_i\|^2+\|\b v_0\|^2-2\b v_i\cdot\b v_0)
\\=K^\t{sys}+K_0-\b p^\t{sys}\cdot\b v_0
\]
其中，\(\b r_0\) 是 R' 系原点在 R 系中的位矢；\(\b p_0,K_0\) 分别是将 R' 系看做浓缩于 R' 系原点的质点时，该质点的动量和动能，即 \(m^\t{sys}\b v_0,\dfrac12m^\t{sys}\|\b v_0\|^2\)。
特别地，如果 R' 是静止系（即 \(\b v_0=\b p_0=\b0\)），则上式简化为
\[\b p'^\t{sys}=\b p^\t{sys}
\\\b L'^\t{sys}=\b L^\t{sys}-\b r_0\times\b p^\t{sys}
\\K'^\t{sys}=K^\t{sys}
\]
这其中，有一种特殊的场合，就是当 R' 系是 质心系 (Center of Mass Reference Frame, COMRF) 的场合，此时式子会有一些简化。
在质心系下，质心始终保持于原点，于是有 \(\b r'^\t{com}=\b v'^\t{com}=\b a'^\t{com}=\b p'^\t{com}=\b p'^\t{sys}=\b0\)。
注意分清记号！例如，\(\b p^\t{com}\) 为惯性系下质心动量，\(\b p'^\t{com}\) 为质心系下质心动量；\(\b p^\t{sys}\) 为惯性系下系统动量，\(\b p'^\t{sys}\) 为质心系下系统动量。
而在上一节中的所有式子中，我们可以将 \(\b r_0,\b p_0,K_0\) 分别代入 \(\b r^\t{com},\b p^\t{com},K^\t{com}\)，于是有
\[\begin{matrix}
\b L'^\t{sys}=\b L^\t{sys}-\b r^\t{com}\times\b p^\t{com}-\b r^\t{com}\times\b p^\t{sys}+\b r^\t{com}\times\b p^\t{com}
\\=\b L^\t{sys}-\b r^\t{com}\times\b p^\t{com}&(\b p^\t{com}=\b p^\t{sys})
\end{matrix}
\]
特别地，另一种视角是，质心系下物体受到非惯性力 \(\b F_i^\t{ine}=-m_i\b a^\t{com}\)，而这些非惯性力的总扭矩
\[\b\tau^\t{ine}=\sum\b r'_i\times\b F_i^\t{ine}=-\dfrac{\b r'^\t{com}}{m^\t{sys}}\times\b a^\t{com}=\b0
\]
因此，质心系 下忽略惯性力时，仍满足 角动量 守恒。然而，质心系考虑 动量 守恒时不能忽略惯性力；在其它 非惯性系 下，无论是角动量还是动量都不能忽略惯性力。
同理，有
\[\begin{matrix}
K'^\t{sys}=K^\t{sys}+K^\t{com}-\b p^\t{sys}\cdot\b v^\t{com}
\\=K^\t{sys}+K^\t{com}-2K^\t{com}&(\b p^\t{sys}=m^\t{sys}\b v^\t{com})
\\=K^\t{sys}-K^\t{com}
\end{matrix}
\]
此乃 Koenig 定理。
