算法总结—最近公共祖先1

最近公共祖先定义

树上的两个点 \(a\) 和 \(b\)，它们的祖先中相同且深度最深的节点就是 \(a\) 和 \(b\) 的最近公共祖。

求法

1.暴力

把 \(a\) 和 \(b\) 的所有祖先都标记上，在从下往上找第一个两个都标记了的点。单次询问的时间复杂度 \(\mathcal{O}(dep_a+dep_b)\)。

1.5.暴力优化

• 如果 \(a\) 的深度 \(dep_a\) 比 \(b\) 的深度 \(dep_b\) 大，让 \(a\) 不停的往上跳，直至 \(dep_a=dep_b\)。

• 如果 \(a\) 的深度 \(dep_a\) 比 \(b\) 的深度 \(dep_b\) 小，让 \(b\) 不停的往上跳，直至 \(dep_a=dep_b\)。

• 如果 \(dep_a=dep_b\)，\(a\) 和 \(b\) 同时往上跳，直至 \(a=b\)。

单次询问的时间复杂度 \(\mathcal{O}(dep_a+dep_b-2dep_{\text{LCA}})\)。

2.倍增

预处理

预处理出 每个结点 \(i\) 的深度 \(dep_i\)，和每个节点 \(i\) 往上走 \(2_j\) 步所到达的点 \(dp_{i,j}\)。

\(dep\) 数组和好处理 \(dep_u=dep_{fa}+1\)。那么 \(dp\) 数组怎么转移呢，首先一个节点 \(i\) 往上跳 \(2_j\) 次等于 \(i\) 节点往上跳 \(2_{j-1}\) 所到达的节点往上再跳 \(2_{j-1}\) 次，所以 \(dp_{i,j}=dp_{dp_{i,j-1},j-1}\)，\(dp_{i,0}=fa\)。

预处理这一步的时间复杂度是 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。

查询

为了方便操作，可以先让 \(a\) 的深度更小：

if(dep[a]>dep[b]){swap(a,b);
}

再让 \(b\) 跳到和 \(a\) 同一深度，但不是一个节点一个节点去跳，而是利用 \(dp\) 数组跳，也就是对 \(dep_b-dep_a\) 进行二进制拆分：

for(int i=20;i>=0;i--){if(dep[dp[b][i]]>=dep[a]){y=dp[b][i];}
}

再次利用 \(dp\) 数组，让 \(a\) 和 \(b\) 同时往上跳，但不可以重合，因为重合了只能保证是公共祖先，不能保证深度最深：

for(int i=20;i>=0;i--){if(dp[a][i]!=dp[b][i]){a=dp[a][i];b=dp[b][i];}
}

答案是 \(dp_{a,0}\)。

单次询问的时间复杂度 \(\mathcal{O}(\log n)\)。

【模板】最近公共祖先（LCA）

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int>G[500005];
int dep[500005];
int dp[500005][21];
void dfs(int u,int fa){dp[u][0]=fa;dep[u]=dep[fa]+1;for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++){dp[u][i]=dp[dp[u][i-1]][i-1];}for(auto i:G[u]){int v=i;if(v==fa){continue;}dfs(v,u);}return;
}
int query(int x,int y){if(dep[x]>dep[y]){swap(x,y);}for(int i=20;i>=0;i--){if(dep[dp[y][i]]>=dep[x]){y=dp[y][i];}}if(x==y){return x;}for(int i=20;i>=0;i--){if(dp[x][i]!=dp[y][i]){x=dp[x][i];y=dp[y][i];}}return dp[x][0];
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int n,q,s;cin>>n>>q>>s;for(int i=1;i<n;i++){int u,v;cin>>u>>v;G[u].push_back(v);G[v].push_back(u);}dfs(s,0);while(q--){int x,y;cin>>x>>y;cout<<query(x,y)<<"\n";}return 0;
}

点的距离

先求出 \(x\) 和 \(y\) 的最近公共祖先 \(LCA\)，答案就是 \(x\) 到 \(LCA\) 的距离加上 \(y\) 到 \(LCA\) 的距离 \(dep_x-dep_{LCA}+dep_y-dep_{LCA}\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int>G[100005];
int dep[100005];
int dp[100005][21];
void dfs(int u,int fa){dp[u][0]=fa;dep[u]=dep[fa]+1;for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++){dp[u][i]=dp[dp[u][i-1]][i-1];}for(auto i:G[u]){int v=i;if(v==fa){continue;}dfs(v,u);}return;
}
int query(int x,int y){if(dep[x]>dep[y]){swap(x,y);}for(int i=20;i>=0;i--){if(dep[dp[y][i]]>=dep[x]){y=dp[y][i];}}if(x==y){return x;}for(int i=20;i>=0;i--){if(dp[x][i]!=dp[y][i]){x=dp[x][i];y=dp[y][i];}}return dp[x][0];
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int n;cin>>n;for(int i=1;i<n;i++){int u,v;cin>>u>>v;G[u].push_back(v);G[v].push_back(u);}dfs(1,0);int q;cin>>q;while(q--){int x,y;cin>>x>>y;int lca=query(x,y);cout<<dep[x]-dep[lca]+dep[y]-dep[lca]<<"\n";}return 0;
}

Dis

先求出每个节点 \(i\) 到根节点的距离 \(dis_i\)，然后求出 \(x\) 和 \(y\) 的最近公共祖先 \(LCA\)，答案就是 \(x\) 到 \(LCA\) 的距离加上 \(y\) 到 \(LCA\) 的距离 \(dis_x-dis_{LCA}+dis_y-dis_{LCA}\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge{int v,w;
};
vector<edge>G[10005];
int dep[10005];
int dp[10005][21];
int dis[10005];
void dfs(int u,int fa){dp[u][0]=fa;dep[u]=dep[fa]+1;for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++){dp[u][i]=dp[dp[u][i-1]][i-1];}for(auto i:G[u]){int v=i.v;int w=i.w;if(v==fa){continue;}dis[v]=dis[u]+w;dfs(v,u);}return;
}
int query(int x,int y){if(dep[x]>dep[y]){swap(x,y);}for(int i=20;i>=0;i--){if(dep[dp[y][i]]>=dep[x]){y=dp[y][i];}}if(x==y){return x;}for(int i=20;i>=0;i--){if(dp[x][i]!=dp[y][i]){x=dp[x][i];y=dp[y][i];}}return dp[x][0];
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int n,q;cin>>n>>q;for(int i=1;i<n;i++){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;G[u].push_back({v,w});G[v].push_back({u,w});}dfs(1,0);while(q--){int x,y;cin>>x>>y;int lca=query(x,y);cout<<dis[x]-dis[lca]+dis[y]-dis[lca]<<"\n";}return 0;
}

祖孙询问

先求出 \(x\) 和 \(y\) 的最近公共祖先 \(LCA\)。

• 如果 \(x=LCA\)，则 \(x\) 是 \(y\) 的祖先，输出 1。

• 如果 \(y=LCA\)，则 \(y\) 是 \(x\) 的祖先，输出 2。

• 否则 \(x\) 和 \(y\) 没有任何关系输出 0。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int>G[100005];
int dep[100005];
int dp[100005][21];
void dfs(int u,int fa){dp[u][0]=fa;dep[u]=dep[fa]+1;for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++){dp[u][i]=dp[dp[u][i-1]][i-1];}for(auto i:G[u]){int v=i;if(v==fa){continue;}dfs(v,u);}return;
}
int query(int x,int y){if(dep[x]>dep[y]){swap(x,y);}for(int i=20;i>=0;i--){if(dep[dp[y][i]]>=dep[x]){y=dp[y][i];}}if(x==y){return x;}for(int i=20;i>=0;i--){if(dp[x][i]!=dp[y][i]){x=dp[x][i];y=dp[y][i];}}return dp[x][0];
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int n;cin>>n;int rt=0;for(int i=1;i<=n;i++){int u,v;cin>>u>>v;if(v==-1){rt=u;continue;}G[u].push_back(v);G[v].push_back(u);}dfs(rt,0);int q;cin>>q;while(q--){int x,y;cin>>x>>y;int lca=query(x,y);if(lca==x){cout<<1<<"\n";}else if(lca==y){cout<<2<<"\n";}else{cout<<0<<"\n";}}return 0;
}