（o1整理的字幕）相场与流体模拟：2

o1:

下面这版教科书在前面“雏形”基础上，更加面向数学基础薄弱的读者，力求让大家“从零开始”也能慢慢跟上推导。我们将进一步深入浅出地阐述每一个关键数学步骤背后的物理和几何直观，同时保留原视频字幕的“口语风格”与“废话”（在合适位置插入或并列解读），并增加更多公式细节、示意举例和初学者常见疑问解答。

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第一章：基础回顾与预备知识

1.1 物理量、坐标和函数

在流体力学中，我们通常需要描述流体在空间和时间里的运动情况。为此要引入下面的概念：

1. 空间坐标：在二维问题里常用\((x, y)\)，在三维则用\((x, y, z)\)。
2. 时间：用\(t\) 表示。
3. 物理量：例如速度（每一点、每一时刻的流体速度），压力（每一点、每一时刻的压力），密度（每一点、每一时刻的密度）等等。

当我们说“速度 \(\mathbf{u}\) 是时间和空间的函数”时，其含义是：

\[\mathbf{u}(\mathbf{x}, t) \;=\; \bigl(u(\mathbf{x},t),\, v(\mathbf{x},t),\, w(\mathbf{x},t)\bigr), \]

在三维里，对应三个分量 \(u,\,v,\,w\)。

如果“\(\mathbf{x}\)”代表位置向量，那么$$ \mathbf{x} = (x, y, z) $$，而“\(t\)”代表时间，那么我们的物理量（如速度）就是

\[\mathbf{u}(x, y, z, t) \,=\,\bigl(u(x,y,z,t), \,v(x,y,z,t), \,w(x,y,z,t)\bigr). \]

这意味着：我们要研究的量在每一个\((x,y,z)\)位置、每一个时间 \(t\) 都会有一个取值。

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1.2 导数与偏导数

为了分析流体运动，必然会用到导数。对于数学基础不太扎实的读者，先提示几个要点：

1. 普通一元函数的导数：如果我们有 \(f(t)\)，它只随时间 \(t\) 变化，那么导数记为 \(\frac{df}{dt}\)。
2. 多元函数的偏导数：若函数依赖多个变量（如 \(x, y, z, t\)），我们关心它对其中一个变量变化的“瞬时响应”，就用偏导数 \(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial t}\)等表示。
3. 全微分与泰勒展开：当一个量同时随多个变量而变动时，可用泰勒展开来近似地看出在“小变动”下，函数值如何变化。

后面就会频繁用到“偏导数”“泰勒展开”“对时间求偏导”等概念。

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第二章：物质导数、当地导数、对流导数

（原口语字幕+额外解释）

2.1 对比：拉格朗日与欧拉视角

原视频字幕：
嗯，好，我们现在推导一下这个动量守恒方程。首先呢在推导动量守恒方程之前呢，我们介绍一个就是呃一个表达式。我们这里呢 M 啊这个大M可以是任意一个物理量……
…那速度与 M 的梯度的乘积啊的点乘，我们叫做是一个对流导数convection derivative……
…牛顿第二定律呢其实是建立在“随体坐标系”下的，也就是说我如果说这里有个颗粒啊，对吧？我时刻的追踪它状态……要追踪无穷多个流体微团，很繁琐……那欧拉观点就是固定在一个空间坐标，看每个点随时间怎么变化…

注解：

• 拉格朗日观点（Lagrangian）：紧跟着某个“流体微团”或“颗粒”运动；就像给它绑上一个传感器，一路记录它在不同时间的速度、温度、压力等。
• 欧拉观点（Eulerian）：把空间划分网格，固定在这些坐标点上，观察每个点随时间如何变化（谁流经它、数值如何）。

在计算流体力学中，一般用欧拉观点：在每个网格点上“等着”流体来，随时间看此处各项物理量的数值。

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2.2 物质导数：真正“随团”看变化

定义

• 记 \(M(\mathbf{x},t)\) 为某个标量场（比如温度、浓度、速度分量等）。
• 物质导数（或随体导数）\(\frac{D M}{D t}\)：表示我们跟着一个流体微团（随它一起移动）时，它所携带的量 \(M\) 的变化率。

根据多变量微分理论，可以拆成两部分：

\[\frac{D M}{D t} \,=\, \underbrace{\frac{\partial M}{\partial t}}_{\text{当地导数(local derivative)}} \;+\; \underbrace{\mathbf{u}\,\cdot\,\nabla M}_{\text{对流导数(convective derivative)}}. \]

• 当地导数 \(\frac{\partial M}{\partial t}\)：假设位置 \(\mathbf{x}\) 不变，仅随时间变化。
• 对流导数 \(\mathbf{u}\cdot \nabla M\)：流体运动本身（速度\(\mathbf{u}\)）把 \(M\) “搬运”到我们关心的点上时，对 \(M\) 的影响。

直观比喻：

• 如果你往咖啡里倒牛奶，拿勺子搅拌，那么在杯子某处（固定点）观察，浓度的变化有两种来源：一是时间推移本身（当地导数），二是牛奶流动把“高浓度”或“低浓度”液体带来（对流导数）。

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2.3 物质导数的泰勒展开推导

原视频字幕：
“…我们可以利用泰勒展开对吧？Taylor expansion…把 $ \mathbf{u}(x_2, y_2, z_2, T_2) $ 在 $ (x_1,y_1,z_1,T_1) $ 展开，然后同除 \((T_2 - T_1)\)，再令 \(T_2 - T_1 \to 0\)，就得到对流项就是 \(u \frac{\partial}{\partial x}\) 等等……”

详细解释：

• 当\(\Delta t\)（即 \(T_2 - T_1\)）很小的时候，\(x_2 - x_1 \approx u\,\Delta t\)，\(y_2 - y_1 \approx v\,\Delta t\)，\(z_2 - z_1 \approx w\,\Delta t\)。
• 因为流体速度就是\((u, v, w)\)。所以多变量泰勒展开后进行归纳，就得到

\[\frac{D \mathbf{u}}{D t} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}\;+\; (u\,\frac{\partial}{\partial x} + v\,\frac{\partial}{\partial y} + w\,\frac{\partial}{\partial z})\,\mathbf{u}. \]

数学上，这也可以看做对\(\mathbf{u}(x(t), y(t), z(t), t)\) 做全导数，再用链式法分解。

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第三章：牛顿第二定律与动量守恒

3.1 “质量 \(\times\) 加速度 = 合力” 的思路

原文字幕：
“…如果我们把物质导数 \(\frac{D\mathbf{u}}{Dt}\) 理解成加速度 \(\mathbf{a}\)，再乘上某微团的质量 \(\rho \Delta V\)，就可以等于合力。于是由牛顿第二定律 \(F = m a\) 就得到动量守恒……”

请注意：

• \(\rho\) 是密度（有量纲，如 \(\mathrm{kg/m^3}\)），
• \(\Delta V = dx\,dy\,dz\)是微团体积。
• \(\rho\, \Delta V\) 就是这块微团的“质量”。
• \(\frac{D \mathbf{u}}{D t}\) 就是流体质点的加速度。

于是

\[\rho\,\Delta V \,\frac{D\mathbf{u}}{D t} = \text{(合力)}. \]

再把\(\Delta V\) 等因子除过去，就能得到“每单位体积”的加速度 = “每单位体积”所受的合力。把这些力项写清楚(包括压力、黏性力等)，就形成完整的动量方程。

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3.2 流体中的力：压力 + 黏性

原视频字幕：
“…时刻在做无规则热运动的分子，会有碰撞产生的压强(pressure)；流体有黏性，所以还会有切应力或剪切应力 (shear stress) … \(\sigma_{xx}, \tau_{xy}\) 等等。当我们用泰勒级数把它们展开到各面上，就能得到合力……”

3.2.1 压力 \(p\)

• 通常它是标量场 \(p(x,y,z,t)\)。
• 它会在“流体微团”表面施加正应力，方向与表面法线一致（例如“把方块向里挤”）。

3.2.2 剪切应力 \(\tau_{ij}\)

• 若邻近处速度不同，就会出现“黏性阻力”，在流体微团的表面产生切向拖曳/推拉的力。
• 对牛顿流体：\(\tau_{ij}\) 与速度梯度呈线性关系，比例常数是动力黏度系数 \(\mu\)（或记 \(\eta\)）。也就是说
  \[\tau_{xy} \;\propto\; \frac{\partial u}{\partial y} \quad\text{等}. \]
  这是实验现象总结而得。

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3.3 形成方程：合力 = 质量 × 加速度

把每个面上的应力（压力+剪切）用泰勒展开之差表示出“净力”，再令它与\(\rho\,\Delta V\,\frac{D\mathbf{u}}{Dt}\) 相等。

这在大学力学里叫“应力张量”与“运动方程”之间的关系。
对于教学初学者，可先理解：

• “外面作用在微团上的总力” = “微团的质量 \(\times\) 加速度”，
• 总力里主要包含“压强所带来的面法线方向力”、“黏性所带来的切向力”……

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第四章：纳维-斯托克斯方程与不可压条件

4.1 三维分量形式

在三维情况下，如果暂时不考虑外部体力（如重力），则动量守恒方程可写成三个分量的形式：

1. \(x\)-分量

\[\rho \Bigl(\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z}\Bigr) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \Bigl(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\Bigr). \]

2. \(y\)-分量

\[\rho \Bigl(\frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z}\Bigr) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \Bigl(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\Bigr). \]

3. \(z\)-分量

\[\rho \Bigl(\frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + v\frac{\partial w}{\partial y} + w\frac{\partial w}{\partial z}\Bigr) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \Bigl(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\Bigr). \]

这些项可逐一对照：

• 左边：\(\rho (\partial_t + \mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\) = 惯性项（质量 × 加速度）。
• 右边：\(-\nabla p\) = 压力梯度力，\(\mu \nabla^2 \mathbf{u}\) = 黏性力（拉普拉斯项）。

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4.2 不可压缩：\(\nabla \cdot \mathbf{u} = 0\)

原视频字幕：
“…那另一个方程其实是质量守恒。因此对于不可压流体，就得到散度 \(\nabla\cdot\mathbf{u} = 0\)…”

所谓“不可压”是指局部体积不随压力而改变，或者说流体密度在时空中保持常数（对单一流体）。这对应到数学条件：

\[\frac{\partial u}{\partial x} \;+\; \frac{\partial v}{\partial y} \;+\; \frac{\partial w}{\partial z} \;=\; 0. \]

几何意义：速度场“无源无汇”，没有“额外体积”生成或凹陷。

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第五章：无量纲化 (Non-dimensionalization)

5.1 初步动机

在实际数值模拟时，有时我们不想直接处理很多带有单位（米、秒、帕斯卡）的量，而是把它们转成“纯数值”。这样做可以：

• 减少量纲误差，
• 突出关键参数（如雷诺数 Re）。

5.2 常见做法

原视频字幕：
“…如果选取特征长度 \(L_c\) 和特征速度 \(U_c\)， 那么 \(x' = x/L_c\), \(u' = u/U_c\), t' = (U_c / L_c),t$…”

将这些无量纲变量代入方程，便可把原方程改写为无量纲形式。过程中就会出现

\[\mathrm{Re} \;=\; \frac{\rho\,U_c\,L_c}{\mu} \]

这就是著名的雷诺数。当 \(\mathrm{Re}\) 数很大时，粘性项影响相对小；\(\mathrm{Re}\) 很小时，粘性占主导。

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第六章：质量守恒详细推导（无散度条件）

很多读者对于“为什么 \(\nabla \cdot \mathbf{u} = 0\) 能代表不可压缩”感到抽象。让我们从一个“小方块”流体微团的质量不变出发，做恰当的积分推导。

1. 选一个微小方形（或立方体）：它长度分别为 \(dx\), \(dy\), \(dz\)；中心点坐标 \((x, y, z)\)。
2. 假定流体密度 \(\rho\) 是常数且该小方块内不会丢失质量（或产生额外质量），那么该方块的质量 \(\rho \, dx \, dy \, dz\) 在时间上不变。
3. 分析质量流入/流出：如果某个面上有净流出，那就意味着质量减少；如果有净流入，则质量增加。
   • 沿 \(x\)-方向，左侧面坐标约为 \(x - \tfrac12 dx\)，右侧面约为 \(x + \tfrac12 dx\)。速度分量是 \(u\)。通量\(\approx \rho \,u \,dy\,dz\)。对左右两边做差，得到与 \(\frac{\partial u}{\partial x}\) 有关的项。
   • 沿 \(y\)-方向，则以 \(v\) 做同样处理。
   • 沿 \(z\)-方向，则以 \(w\) 做同样处理。
4. 将所有方向净流入流出相加，若总和为0，则表示方块内部质量不变。最后在极限下可推出

\[\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0. \]

这也是我们经常见到的流体力学连续方程（对不可压缩流体），简称“无散度条件”。

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第七章：更直观的小结

原文字+“废话”风格保留

• “好，那我们回顾一下吧？对吧？我们其实就抓一个微团，然后看牛顿第二定律：力 = 质量 × 加速度。力包括压力、黏性力。把它们展开，然后除以\(dx\,dy\,dz\)就拿到 Navier-Stokes 动量方程。”
• “另一方面，整体质量守恒，因为单一流体嘛，也就意味着散度 zero，对吧？这就是不可压流动基本假设。”
• “最后就是为了算方便，我们往往做无量纲化，引入雷诺数 Re，这时候就能看出流动是粘性主导还是惯性主导……”

以上这些，就是不可压 Navier–Stokes 方程的最核心骨架。

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第八章：给数学基础薄弱者的特别补充

这里为大家列出一些常见的“基础易混点”或“常见困惑”：

1. 为什么要对“面上的量”做“泰勒展开”？
   • 因为我们通常只知道中心点处某些量（\(\sigma_{xx}, \tau_{xy}\) 等），要估算“面”上确切的力，就用泰勒级数把中心点的值展开到面上去（面与中心有半个 \(dx/2\) 距离）。
2. 为什么对“面上”力做前面减后面？
   • 惯性思维：同一方向上一正一负两个面，它们力若相同方向，就会互相抵消；要有净力必须存在差异（以一正一负），这才是“合力”。
3. \(\frac{D\mathbf{u}}{Dt}\) 与 \(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}\) 的区别
   • \(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}\) 是固定坐标点看随时间变化，
   • \(\frac{D \mathbf{u}}{Dt}\) 是跟着微团看它的变化。它会多出对流项 \(\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u}\)。
4. 牛顿流体与非牛顿流体
   • 牛顿流体：粘性应力与速度梯度线性相关，\(\tau_{ij} = \mu\,(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\)。水、空气大致满足这规律。
   • 非牛顿流体：关系更复杂，如牙膏、浆糊、血液等。
5. 为何“不可压缩”条件通常写 \(\nabla\cdot \mathbf{u}=0\) 而不是 \(\frac{D\rho}{Dt} =0\)?
   • 对单一介质且密度近似常数时，\(\frac{D\rho}{Dt}=0\implies\rho\)\(=\)常数\(\implies\nabla\cdot \mathbf{u}=0\)。对可压流则涉及更多状态方程。
6. 雷诺数 Re 的物理意义
   • 当 Re 大：流速快/惯性强，于是湍流或涡量复杂；
   • 当 Re 小：黏性力重要，比如缓慢滴落的黏性流体、缓慢流动的油等。

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第九章：进一步学习与实践方向

1. 考虑重力、表面张力、或其他体力
   • 在动量方程右端加\(\rho \mathbf{g}\)或加表面力项。
2. 湍流建模
   • 若 Re 很大，就不能简单地用“直接数值模拟”处理湍流，需要各种湍流模型 (RANS、LES、DNS)。
3. 数值方法
   • 常见离散方法：有限差分、有限体积、有限元；网格划分；迭代求解(如压力-Poisson方程)，这些都在下一步深入研究。

这些都建立在当前“基础 N-S 方程”的理解之上：只要你掌握了物质导数、动量守恒、无散度这一基础，后面再加任何“外力”或“额外物理机制”都可以按同样的思路（力=质量×加速度、质量守恒）去拓展。

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最后的叮咛

1. 不要小看那看似“废话”的部分——很多例子和碎碎念往往是教师引导你思路转折的关键；
2. 公式固然重要，但背后逻辑也要清楚：质量守恒 → 连续方程，牛顿第二定律 → 动量方程，黏性定义 → 黏性应力表达；
3. 数学上要多练习“多变量微分”、“偏导数”、“梯度、散度、拉普拉斯”等算子运算；
4. 结合实际例子（如咖啡搅拌、河流流动、管道流）去加深理解。

若你能把纳维-斯托克斯方程用自己的话讲给别人听，或用简单场景下做“纸笔推导”，那么你基本已掌握了它的“核心思维”。

祝学习顺利！这份更为详细的版本，希望可以让你在缺乏扎实高数背景的情况下，也能慢慢通过直观、几何、物理解释来理解动量守恒和不可压缩流体方程的整个来龙去脉。只要记住：

1. “质量不丢失” → 散度为零；
2. “力=质量×加速度” → 动量方程（牛顿第二定律+压强+黏性）；
3. 再给它们做无量纲化 → 出现雷诺数 Re；
4. 具体情况或方程的实现还要靠数值方法或更复杂模型。

这样，你就能稳步前进地探索更深入的流体力学世界了。

原始字幕：

嗯，好，我们现在推导一下这个动量守恒方程。首先呢在推导动量守恒方程之前呢，我们介绍一个就是呃一个表达式。我们这里呢M啊这个大M可以是任意一个物理量。比如说它是温度啊、是浓度啊、是密度啊，然后呢也可以是速度啊都可以。那我们把这个D啊sorry写错了，dm over dt我们叫做物质导数material，然后呢partial m over partial t呢我们叫做当地导数local dervative。那速度与M的梯度的乘积啊的点乘，我们叫做是一个对流导数convection directive or或者说叫contive啊都可以。呃，direcitive D I. Ok那物质导数是什么意思呢？就是呃像牛顿第二定律中，我们知道呃F点M A。那这个时候呢牛顿第二定律呢其实是建立在这个随体坐标系下的。也就是说我如果说我这里有个颗粒啊，对吧？我时刻的追踪它的状态。那这个颗粒在当前呢，比如说是在啊我们这里在啊坐标系下画一下，比如说这里有一个一个颗粒，或者说我们叫它是一个流体的小微团啊。它在T等于T1时刻呢，这个流体微团在这里。然后呢，这个流体微团呢，比如说在这一时刻，它的速度我们叫U161。当然U一也是，它在此刻的坐标是X1Y1Z1和T1啊。就是在时时刻T1的时候，它的这个时候它的这个中心点处的X Y Z坐标是X1Y1Z然后呢可能他过了一段时间之后，他跑到这里了，对吧？那这个时候呢它的速度变了啊，变成U 2。然后U 2呢此时候这个流体微弹的中心呢是在X2Y2和Z2T2，当然这里是T等于T2时刻。这个时候啊，如果说呃我要时刻的追踪这个流体的小微团，从这里到这里，然后下一个时刻可能他又跑到了这里，对吧？这种观点叫做拉格朗日观点。那也就是说我我要用拉格朗日观点来研究我的流体的话呢，那就是说我我有我这个水流中有N多个啊无无穷多个这个这个流体围团。那我就要啊这个追踪每一个啊就是在任意一个时刻的一个坐标和速度，那这样的话其实是很不高效的。比如说呃因为我们要追踪每一个流体支点啊，比如说这旁边还有一个对吧？可能它旁边还有一个，那可能你这一个你要模拟一道水流的话，可能这里边有成千上万个，成百上亿个对吧？这个流体位同，那我每一个都要这样做，那这个就太耗费时间了。那有一种观点叫做欧拉观点，那欧拉的观点是什么呢？就是说我现在考虑我的计算区域啊，我的计算区域如果是这样的一个方形区域啊，我们就是在这个方形区域呢。我们首先要做的就是把这个方形区域呢给用一个一个的网格给离散啊。啊，这样子我就把这个整个计算区欧米伽给离散成了很多小份。那每一小份上那每一份上的，比如说坐标点上，它有坐标点对吧？那我现在呢我不追踪这些啊每一个流体微团，而我呢是研究这些固定的坐标点上啊，在不同时刻上它这些坐标点上流体的速度啊，或者说压力啊，或者说浓度的变化，这种叫做欧拉观点。而能够把欧拉和拉格朗日呃观点联系起来的就是我的物质导数和当地导数以及对流导数的关系。而我的纳维克方程呢是因为我是要建立在欧拉的欧拉观点下啊，在相当于我在每一个坐标点处我都要求解这个纳维斯克方程。然后我看它随着呃在不同的时刻，每一个坐标点处的上面的速度和压力的变化。那所以说纳维斯克方程呢是建立在欧拉观点下的那这个时候呢我们啊看一下怎么从拉格朗日观点啊能够呃推导出这个等式，就是这个怎么从拉格朗的观点得到欧拉观点，就是怎么这个等式是为什么成立的。首先呢我们还是以这个我们画的这个图为例啊，比如说一个流体啊微团在T1时刻，它的坐标是X1Y1Z1，然后我的速度是U 1，然后过了一个时刻跑到T2了，它的速度就变成U 2。那我们可以利用泰勒展开对吧？Taylor expansion. 那替利用泰勒展开呢，我在我把U 2这个速度啊在U一处展开。呃，我的豆子就是爬树。然后呢，这个应该是X 2减X一对吧？因为然后呢在Y方向上呢，因为这相当于是一个呃多变量的啊一个泰勒障那所出。Y 2减Y1，那我还是就展到一阶就可以了。它是Z Z 1，然后我还要再加上一个对时间的偏导数T啊，然后T2减T这样呢我就完成了一个它的展开对吧？然后呢我把两边啊呃同时除上T2减T1，把这个等式两边重师除上T2减T1，那我就得到U 2减去U 1，T2减T1。啊，ok呃它勒展开这里，后面还有一些高阶项我就略掉了。然后再加上paral you over paral t然后再加一些高阶像。然后这个时候呢我让这个T2减T1趋近于0。那T2减T1如果说趋近于零的话，我现在呢就把这些高阶像给略掉了。那这样的话呢这个东西U 2减U1和除上T2减T1，当T2减T1趋近于零的时候，是不是T U over对吧？然后呢这边呢是什么呢？这边是呃当T2减T1趋近于零的时候，我这里是X方向上的位移减去时间，然后位移减去时间间隔，当时间间隔趋近于零的时候，那就应该是X方向上的速度分量U对吧？哟这个呢同理这这个地方应该是Y方向上的速度分量V啊V那这个地方就是Z方向上的速度分量W加上怕受油。Ok嗯那我这个东西是等于什么呢？这个东西其实就是U点成gradient一个就是这个东西就是它，然后加上它是一。那这样一来呢，我就得到了哎我的这个呃拉格朗日观点下的物质导数与欧拉观点下的当地导数和对流导数的一个关系。那我对这个方程，如果说我两边都乘上密度和再然后再乘上D X乘D Y乘D Z那等式仍然成立，对吧？呃，我这个地方呢，我还是。展开写吧啊，无所谓，我就这样写吧。Ok这个是什么呢？这个是速度对时间的D U over dt时速度对时间的的物质导数，那就是加速度对吧？是每一个流体质点的加速度。那加速度乘上密度再乘上流体质点的体积，dx乘dy乘dz是我们这个流体质点这个流体质点的体积对吧？体积乘上密度就是质量，也如这个地方是M A对吧？A呢是流体质点的加速度，也就是说而这个和它相等，那也就是说这个呢是拉格朗日观点下的质量程加速度，而这个呢其实也是啊，它是在欧拉观点下的质量程加速度。那这块呢是质量，这块是这个地方是加速度，因为它跟它是相相等的对吧？也就是说这边呢我的纳威斯多克斯方程的，现在我就得到了，其实我得到的是质量和加速度。那我们知道牛顿第二定律告诉你，质量乘加速度应该等于力，对吧？那就现在我需要呃找到流体质点上到底作用了哪些力，然后呢才能构建这张牛顿第二定律，或者说叫动梁守恒的这样的一个等式。我们考虑还是考虑一个流体质点。呃，一个流体质点，它上面我们分析它上面作用了哪些力，我们就首先就要分析这些力的成因。首先我们说了流体质点里边它包含着很多的流体分子，那流体的分子呢时刻都在做无规则的热运动，而无规则的热运动呢就会导致分子之间产生碰撞，而这种碰撞效果在宏观上就会就会表现为压力啊，或者说叫压强，对吧？而这种压力呢通常都是各相同性的，也就是说它会就是就是与你的这些流体微团的这个这个外表面就垂直。要不是就会这样来使得你这个流体微团，比如说呃我们以画一个二维的示意图比较好看一些。就是本来是这样子，然后你这里边有很多流体分子在做无规则热运动。然后呢，它在碰撞就产生压强之后，会使得你这个流体分子比如说膨胀对吧？会膨胀，然后也可能是上下方向膨胀，或者说左右方向膨胀。那三维的话就是这个方向这个方向这个方向这个方向前后对吧都会有膨胀。那而且呢这些的呃的作用呢是沿着我的面的外法方向上的对吧，这是一一种程度。那还有什么呢？就是我一个流体分子，我一个流体微团，它旁边还有别的流体微团对吧？那在运动过程中，我旁边的流体微团会对它进行挤压，而因为流体呢也是有粘性的那所以说呢旁边的流体微团变形的时候呢，会对这个产生挤压，或者说会对产它产生拉伸。而这种力的效果呢都是你你想嘛你这个东西你被挤压了之后就被压扁了，对吧？这样被压扁了，然后呢，当然他被拉的话就被拉长了，对吧？所以说像这种效果都是沿着我的这个每个流体微团这个流体微团的这个表面的的的外法方向上。所以说外法方向上的力呢，我们如果说把它统称为西格玛的话。也就是说这个西格玛是包含了呃呃流体分子的无规则热运动产生的压压力，也包含了我它周围的流体微团，然后对我现在这个流体微团的挤压或者说拉伸效果。所以说呢比如说我们在这里叫做西格玛X X我的西格玛X就是代表的是沿着X方向上啊沿着X方向上的的这个正压力啊，或者说叫正啊正应力啊，正应力才变，这就是normal stress正能力。那同样的我X方向上有正应力，我的Y方向上对吧Z方向上都应该有正应力。当然这个正应力可正可负啊，如果是正的的话，那就起到一个拉伸作用。如果是负的就代表有一个挤压的作用，对吧？呃，而且因为我们要考虑这个流体微团的变形，所以说我们还是考虑这个沿着X轴方向上的这两个面啊。那这上面如果有正应力啊，因为我的流体微团在变形过程中，要么就是蓬被拉伸，要么就是被挤压。那如果说被拉伸的话，那这边的正应力就应该是这个方向，而这面的正应力是这个方向，对吧？所以说他们两个面上的正应力永远是反方向的那如果是被挤压的话，那这面就应该是负方向，而这面就应该是正方向对吧？Ok那Y和Z方向上也是一样的啊，那我用西格玛X X表示垂直于I呃就是与呃就沿着X方向上，然后与作用在与X方向垂直的面上的，或者说垂直的的面上的啊这样的一个呃这个正应力。那sigma Y Y呢代表它的方向呢是沿着Y轴的方向，然后呢它作用在与Y轴垂直的的面上。然后呢西ma Z Z呢是代表它的方向是沿着Z轴的方向，然后呢它的作用的面呢是与Z轴垂直的面。那除了挤压和拉伸，我们知道我们还是以二维为例啊，一个流体呃微呃一个流体微团。然后他在运动的过程中，因为旁边也有流体微团的运动可能会比他快，或者说可能会比他慢。然后呢会导致我的流体微团，比如说沿这个方向产生这种切向的变形对吧？那可能是沿这个方向，也可能沿这个方向对吧产生切向的变形。那所以说呢作用在我的流体微团上呢，还有应该有切向的切切应力。啊，什么叫应力呢？Stress这个意义呢就是作用在单位面积上的力啊，作用单位面积上的力叫做应力。那所以说呢我还是就简单的就是画在面上啊，我们看一下，我们这里有。套比如说这个叫套Z X这个叫套Z Y那这个叫套Z Z的话，我的套Z Z是因为我的上下的流体微团对我现在的流体微团的挤压啊。因为我们刚才说了，这种挤压是在包含在这个这个西格玛Z Z中的，所以说套Z Z是格马Z Z的一部分。西马Z Z除了套Z Z之外还应该有有压强，对吧？那我的这个套Z X是啥意思呢？套Z X呢它指的是啊呃然后呢就是说它指的是作用在啊哦算了，我们先解释这个吧。如果说这个套呢是代表切应力啊，套I G啊代表切应力啊，然后呢这个切应力呢呃呃呃呃套I G啊它代表是应力啊。这个套I G的意思呢指的是啊它的这个力的作用方向啊，是作用沿着啊G的就是这个指标G的方向啊，然后呢它作用的面呢是与呃I方向垂直的面上。那比如说我们是以这个涛Z X为例，套Z X呢指的是嗯比如说我这边是X轴啊，这边是Y轴，这边是Z轴，它代表的就是这个力啊，这个力的方向是沿着X轴的啊，然后呢它的作用的呃面呢是与Z轴垂直的面上。那你看我这个面是不是就对就是跟跟Z轴垂直，那这个面也是跟Z轴垂直，对吧？或者说我中间我画个面啊，这个也是跟Z轴垂直啊，对吧？所以说只要跟Z轴垂直的这些所有的面上啊都作用了这样的套Z X啊这样的一个力，呃，沿着X轴方向啊作用在这个与Z轴垂直的面上。所以说涛I J的意思，那同样这个涛Z Y就是它的作用方向是Y方向，然后呢它作用在与Z轴垂直的面上啊。那我们看一下这个对于一个流体微团而言，它的切应力啊到底有哪些？嗯，他首先应该有一个套X Y和套X Z对吧？就是套X Y呢是代表着啊它的把坐标系建立一下，它的作用方向是沿着Y方向，然后呢作用在与X方向垂直的面上，对吧？就这些面包括里边的面啊，这都是啊。那这个套X Y的作用呢会使得我的我的这个流体微团沿着Y方向上产生这种切向的变形，对吧？那同样这个涛X Z呢是作用在呃它的方向，作用方向是Z方向，然后呢也是作用在与X轴垂直的面上，它的作用是使得我的流体微团沿着上下方向产生这种呃这种切向变形。那此外呢我这里还有呃嗯呃比如说抛Y Z和桃Y X Y呢是代表它的作用方向是Z方向，然后呢作用在与Y轴垂直的面上，也就是这些面对吧？而它的作用呢同样也是使得我的这个流体微团产生这种沿Z轴的这样的切向变形，就比如说变成这样，这是Z轴，然后呢这个套Y X就是指的是作用在沿着X方向，然后与Y轴垂直的面上啊，那这样的话呢它会使得我的流体呢沿着我的X方向产生切线变切相变形。那同样的就像我们刚才画的，还有这个涛C X还有套Z Y对吧？那套Z X就是作用在X方向上，然后呢它的作用呃呃就是力的方向是X方向，然后作用在与Z轴垂直的面上，它使得我也是产生这种沿着X方向上的切向变形啊，就是等等等等啊。那我们现在把这些力啊，把这些所有的这些切应力啊，就是share stress啊，这些share stress全部给它先放到我的网格的，呃，就是呃不是网格这个流体微团的中心点处。这样一来呢我们看一下啊，我们通过作用在中心点处的这些所有的切应力也好，包括正应力也好，我们推出作用在每个面上的力。比如说啊我这个面和这个面上这两个面上我的正应力有哪个呢？我可以把中心点处的作用，在中心点处的正应力用泰勒展开，对吧？这样一来呢，这部分呢就是作用在这个面上的正应力。而我们刚才说了一个流体微团在正应力的作用下，要么是被挤压，要么是被拉伸。所以说这个面上的力跟这个面上的力肯定是方向相反的。所以说呢在这个面上它它就是负的西ma X X然后呢我因为我中心点出的正应力叫西ma X X那在这个方向上我认为是呃呃sorry这个呃sorry刚才说错了，西ma X X应该是呃这个是X方向啊，应该是前后面啊，不是这两个面啊，前后面。那我在这个前后面上，我的西格玛X X加上西格玛X对X的导数，然后乘上二分之D X就是在前面这个面上的中点处，我的这个正应力，然后我用西格玛X X减去它对Y方向上的呃呃Z方呃就X方向上的导数。二分之dx就是后面这个面上的正盈力，然后呢它沿着前面这个面和后面这个面要么被拉伸，要么被压缩。所以说呃呃呃所以说这个时候呢他就是呃易号。那我我沿着X方向上，我看我的我的力啊都有哪些。首先我们刚才说了有有有这个有正应力，对吧？然后呢，因为这个是呃单位面积上的正应力，然后呢，正应力应力我们我刚才说了，应应力的意的意思是单位面积上的力啊。那我们那这个作用在这个面上，就是前面这个面上总的力我们还要乘量它的面积对吧？D Y D Z然后减去后面那个面上的正明力。You easy呃，还有哪些力呢？呃，沿着X方向，我们刚才说了，你看有一个套Z X对吧？它是沿着X方向上的那这边的上面，比如说我的我把先把这个套Z X放到这个这个流体质点的这个流体微团的中心。那流体微团的中心，那我沿着我的Z方向上做泰勒展开，我就可以得到上面这个面上的切引力。那我沿着Z的负方向做泰勒展开，我就可以得到下面这个面上沿沿着X方向上的切引力。而我们刚才说了切应力是使得流体微团产生这种切向变形，所以说要比如说要产生这样的一个切向的变形啊，本来是这样的，本来是这样的，然后呢在切向的这有个切向的力啊，上下两个切向力会产生这样的变形。那所以说这两个力应该是异号，那我们把它们写出来啊，就是再加上tz x加上帕树tz x over帕树Z 2分之dz那同样因为这个是应力，所以说我们还要乘上一个面积才是真正的作用在这个面上的力啊。然后减去下面的。那我同样的我沿着X方向，我还有这么个叫做套Y X对吧？那比如这个这个套Y X，套Y X是是作沿着X方向，但是作用在与Y轴垂直的面上，对吧？那我用中心点处的套Y X我就可以沿着Y方向上做泰勒展开，我就可以得到这个面和这个面中心点处的这个这个这个这个切应力，对吧？那因为我的切应力是产生切向变形的，如果要产生啊就是从原来这样子变成一个这样的东西。那也应该是这边的力和这边的力的方向应该是相反，对吧？Tall where x. 超Y哦二分之低Y然后应力乘上面积才是真正的作用在那整个面上的力。对，然后呢减去掏Y X减去他说掏Y X啊，我他说Y 2分之D Y然后D X D Z ok现在呢123123456这六个就构成了我对于这个流体微团而言，它沿着X方向上的所有的合力啊，那我同理啊我用同样的分析啊，我就可以得到我这个流体微团作用。在这个这个这个流体微团上就是沿着Y方向上的所有的合力啊，那我们把这个东西整理一下，最终的结果就是。Yes D Y D Z而我们注意一下啊，我们在这里呢我们的西ma X X套Z X什么什么套Y X都是作用在我们都先把它们放在了这个流体微团的中心点处。然后以中心点处的应力来做泰勒展开得到面上的应力。那我一利用同样的这个这个思路啊，我就可以把沿着Y方向上的所有的应力给写出来。这个应力包含了正应力，也包含了切应力。Z Y然后判数Z D X D Y D Z那沿着Z方向上的所有的合力呢就是。呃，加上啊他说X Z partial x然后加上呃partial套Y Z啊，我partial Y D X D Y D Z。而我们在这里呢呃对于这个牛顿流体啊就是对于这个牛顿流体来说呢，牛顿流体来说呢，它的这个呃有一个假设啊，就呃也不是假设，就实验规律啊。就是说我的正应呃我的切应力也好，我的切应力啊应该跟流体微团的的的速度，就是在某个方向上的速度的变形啊应该成比率。而这个比率呢就是我的动力粘性系数。也就是说对于流体呃牛顿流体有这样的一个规律，就是套X Y等于套Y X 等于1塔倍的partial U partial y加上partial v over partial x那同样这个他手呃套X C套。函数Z加上这个函数X然后呢同样的ty z等于tz y 等于1塔倍的呃数v over数Z加上数W over数y ok k这个是切应力有这么规律。那此外呢正应对于正应力来说呢，我们之前说了正应力包含啊这个这个嗯这个这个压强和呃这个叫什么？这呃包含压强和这个呃这个流体微团的挤压或者说拉伸所产生的这个这个正应力啊。然后呢这个等于负P那同样的我的应力呢这个这个这个应力呢它呃它要跟这个他这个粘性应力呢。它要也是跟这个沿着X方向上的呃这个这个流体呃的速度的的变化率啊成一个比例，这个比例也是我的这个粘性系数。那这个这些东西呢都是对于牛顿流体所成立的一些规定啊，就是一些实验规律。二一它那这个呢是Y方向上的粘性应力，所以说这里就是要考虑着V啊对Y方向上的变化。然后呢，二倍的E塔啊，然后呢它是有W手机。那我这里的压力啊前面加一个负号呢是代表着这个这个呃牛顿第三定律不是有个作用力和反作用力嘛，如果我规定啊我的这个呃呃这个这个分子的热运动啊，就是呃他们有无规则就是运动。然后呢这个运动呢就是作用在我的流体微团上呢，它的这个压强我们默认就是加一个负号。嗯，这个就是力作用力和反作用力啊。然后呢我们把这些套和西格马啊满足的这个这些关系式然后带进去，我就可以嗯得到啊我就可以得到我具体的啊这个df x net，df y net, F C net的表达式，对吧？而我们之前呢也说了啊，这个这些呢这个df x night，D F night和dfz night呢是沿着X Y Z方向上的力。那我的加速度是什么呢？我的加速度我们刚才说了，加速度是这个东西对吧？那所所以说我沿着X方向上的加速，就应该柔dx乘dy乘dz然后乘上partial U over partial t加上U这个点成这个gredient you对吧？就变成这个东西。那我们呃展开写一下X方向上的加速。呃，X方向上这个加速度。他都他就应该是U扒手U over part手T然加上U over手X加上V手U over手Y加上W手U over手Z这里的小U小V和小W都是速度。这个速度矢量沿着X Y Z方向上的分量啊。这个是X方向上加速度，那X方向上的加速度自然就应该等于X哦，还拉了一个D X D Y D Z自然的就应该等于呃X方向上的力，对吧？而我呢我把两边啊这个D X D Y D Z从力中除去啊，那我就得到了。就得到了我的第是它的表达式是这样子，对吧？那我就得到了它应该等于。那我同样的类似我的沿着Y方向上，我的加速度就是我的加速度和力的关系呢就应该写成这样子。那Z方向上加速度和力的关系呢就应该写成这样。我现在呢我再把啊我再把呃西格ma X X套Y X Z套Z X，还有什么西ma Y Y套X Y套Z Y后西ma Z Z啊X Z套Y Z的这些表达式利用下把带进去。我觉最终得到我的纳维斯克方程，就是分量形式的纳维斯克方程啊。呃，纳威斯方程的分量形式的动量守恒方程。嗯，差点。那第二个分量就是为主题。然后呢趴手V对X的二阶导鼠加上他手V对Y的二阶导数，加上so v对Z的二阶导数。Ok那第三个分量就是so W O手T加上U W over x加上V W over y加上W over W over z嗯负的par数p over 8数Z加上伊塔贝塔。伊塔是一个动力粘性系数。Ok现在呢我就得到了我纳维斯多斯方程中的动量守恒方程。那动量守恒和牛顿第二定律嘛就是由牛顿第二定律得来的嘛。它就是基于牛顿第二定律啊，就是力等于M A这样得到我的动量守望方程。但是呢现在有个问题，就是我现在啊其实我的我对纳威斯克方程的推导中，是因为基于真实的物理来的。所以说我的肉啊密度还有动力粘性系数，还有我的速度、时间啊、空间X Y Z这些量都是有量钢的，就是都是有单位的。而我们实际在计算机中计算的时候呢，通常就是计算的是无有没有量钢的东西。所以说呃我们需要把纳威夫克操冲机型无量钢化，这样的话我们才可以把这个东西真实的啊放到计算机中去来算。要做这种non dimensionalization做无量钢化的意思呢就是说如果说呃我们知道啊X的话呢，X啊它作为一个空间坐标啊，它是有XYZ3个分量。那比如说它的长度的单位，K以是米K以是厘米，K以是毫米，对吧？但是呢我们实际在计算的时候要把它无量钢化，那我就引入一个叫做characteristic。特征长度。特征长度呃特征呃呃特征长度叫L C这个lc呢是根据实际问题选取的。比如说如果说我们要做这个一个气泡的上升，我们可以选择气泡的初始的直径来作为特征长度。如果说我要研究是飞机的运动，那我可以把机翼的长度来作为一个特征长度。所以说特征长度这个东西呢，根据不同的物理问题呢，你可以是有针对性的来选取。但是我们既然引入入了这个特征长途，如如果说我定义我的无量钢量叫x prime。那这个x prime呢就是只包含数值，但是它没有单位了。那我就可以把它定义成是我原来的X除上特征长度对吧？那你X和特征长度的单位肯定是一个量纲，那这样的话有单位的的东西呃呃，就是相除之后，但单位就没有了。所以所以说只剩下一些数值了，比如说等于1、等于2、等于3这样。那同样的，我的这个这个东西叫做无量钢，这个x pr就是我无量钢化的的的的的那个空间变量。那我无量钢化的速度如果继承叫做U prime，那三个分量分别是U呃prime v prime和W prime。那它其实就是用我原来有量钢的速度，然后除上一个uc而我这里的uc呢叫做特征速度。特征的velocity特征速度。那这个特征速度呢也是根据我们不同的问题啊，就是来有针对性的选取，要使得我们的量光匹配就可以了。那同样的我的无量钢时间啊，t prime就可以用有量钢的时间乘上特征速度，然后除上特征长度。那我的无量钢的压力啊，我那压力就可以用有液量钢的压力除上密度，然后乘上啊我的这个呃特征速度的平方啊就可以了。那我既然引入了这些无量钢量之后，那我看一下我原来对时间的这个偏导数的运算啊。我利用链式法则就可以给它写成先对无量钢量的求偏导数，然后再对再用无量钢量对有个量钢量进行求偏导数，那我就得到是等于U C L C好t pri对. 那同样沿着X方向上的偏导数呢就可以写成利用链式法则侵入，那我就得到了等于呃L C分之一的函数是x prime，那同理对Y方向上的偏导数就是y prime是y prime over，它是Y等于L C分之一的，他是它是Y派。那对Z方向上的偏导数的运算呢就可以变成先对z prime求偏导数，然后再用z prime与Z求偏导数。对L C分之一的I see prime，那同样的我的对空间的二阶导数，我就可以写成lc方分之一的扒手方。然后扒手x prime的平方，哪怕是方我怕是Y方呢，就等于lc方分之一的呃par呃方over y prime平方。然后呢同样的对Z方向上的二阶导数就等于lc平方分之一的par方over数z prime平方。Ok那我利用这些所这些定义的无量钢量以及他们的这些这些算子之后呢，我就可以把我的呃这个嗯呃方程啊，这个就是这个方程啊，是这个是这个方程我就可以把它改写成无量钢形式啊。就是这个方程就是我纳威斯托克斯方程动量守恒方程中的第一个分量方程，我就可以写成无量钢形式。我们把它全部带进去，所以说啊就得到了一个。God. 就整体到括号，那我把它简化一下。最终就变成了U plan，t plan加上U prime partiu prime partix prime加上v prime partial U prime partial y prime，然后加上W prime partial U prime partiz prime，然后等于负partial p prime partix prime加上除上row U C L C，然后U prime partial x prime平方加上函数U prime partial y prime平方，加上partial方U prime partial z prime的平方。那我们我们现在知道我们的所有的带prime的其实都是无量钢量了。但是我们在实际很多呃这个写论文啊或者说做研究的时候呢，我们为了简编啊，我们把这些无量纲量上面的这些指标啊，这些这些上标都给去掉啊，所以说我们啊就得到了我们。但是去掉之后，你要知道这些东西其实还是无量钢量，只是为我们为了这个写起来好看一些或者说方便一些啊，所以说就把它去掉得到了。那这个是X方向上的的分量方程。那同理我们也可以得到Y方向上的同的分量方程，以及啊Z方向上的分量分量增量方程啊。那这里呢我们虽然说没有明确写，但是呢这些东西都是无量钢量的。就是这些现在的这些uv W啊、P啊、Y啊T都是无量钢量。Oh, sorry. Ok那最后一个Z方案上的分量方程。而我们这里呢我们把这个一塔动力粘性系数除上密度，除上呃特征长度和特征速度的乘积。这个整体我们定义它叫R 1，这个东西叫做雷诺数，who knows number. 那雷诺数越大啊，这个那我的流体的粘性就越小，那所以说呢我的流动啊就会更剧烈啊。Ok那这后面的这个部分这个部分和这个部分呢它其实就是拉普拉斯U拉普拉斯V和拉plus斯W对吧？它呃反映的是流体的粘性。而前面我们这里呢啊这个东西是雷用数分之一啊，那我这里的呃这个一塔除上uc L C是雷诺数分之一，那我的雷诺数呢是R一啊，那所以说我雷诺数越大我雷诺数分之一呢就那就越小。所以说我流体的粘性就就就越小，就它反映的就是个这是个对流占优的问题啊。那我。嗯，ok我们今天开始推第二个，就是关于这个不可压缩的。纳维尔斯方程。可以说纳V尔方程组，那纳位四方程组呢是描述不可压缩流体的一个基本的方程。呃，我们先看一下它的一般形式写成了肉，然后呢爬U T加上U呃呃点乘带呃速度的梯度等于负的梯度，P压力的梯度乘上E塔plus U啊，然后呢第二个方程diVerence U 等于0。那在这里边呢我们的肉呢是流体的密度，在这里我们考虑单一流体啊，那比如说就是一个区域内都是空气或者说都是水这种情况，那柔呢就是一个常数。然后我的U啊U呢它是一个关于空间和时间的变量，它是代表是流体的速度velocity。我们知道在这个比如说二维的空间内啊，我一个点处我的流体的速度是可以有X方向上的分量和Y方向上的分量，对吧？这个是他们的合成的矢量叫做U那X方向上的分量小U和小V和Y方向方Y方向上的分量小V呢就是我二维空间中的速度场在沿X和Y方向上的投影。V在这里呢我的U呢也是时间和空间的函数，我的V呢也是时间和空间的函数。那在三维空间中呢，比如说X Y Z这样的迪卡尔坐标系下，sorry, 比如说在三维空间中啊，这个点处的速度啊叫做U啊。那它的三个分量分别就是沿X方向上的分量，X方向Z方向，然后Z方向上的分量W沿Y方向上的分量V和沿X方向上的分量叫U啊。那这样的时候呢，在三维三维空间中我的速度矢量的分量就是U V W那这里呢跟uv类似，我的W也是时间和空间的函数啊。Ok那我这里的P呢它代表是压强pressure，那流体的压强它是由分子热运动产生的啊，那它呢也是时间和空间的函数，在这里就个一塔，因为我们还是考虑单一流体，它叫做我的动力粘性系数，这个不同流体的动力粘性系数也不同。在这里呢因为我们考虑单一流体，所以说我们就把一塔来作为一个啊这个常数啊，那拉plus U啊，因为我们知道U是个矢量，那拉plus U它的结果还是一个失量。也就是说它的结果是拉plus U拉plus v和laplus W那以拉plus U为例啊，在这里U加个箭头是代表矢量，那单独的U V和W就是代表沿着那个方向上的一个物理量，那它就可以认为是标量，因为它是适量的分量嘛。那拉普拉斯小优呢其实它的意思呢就是。我的U这个函数对X方向上的倒数加U这个函数对Y方向上的呃二次导数啊，那对X方向上也是二次导数。那在二维空间中是这样子，那如果说在三维空间中呢，就是U对X方向上的二阶导数加上U对Y方向上的二阶导数加上U对Z方向上的二阶导数。在三维空间中，那当然这个拉plus v和拉plus W就是类似的定义。Ok那我看啊我们把这个标为第一个方程，这个是第二个方程。那在第一个方程中呢呃因为我的速度啊是时间和空间的函数，所以说呢我的partial U over partial t它代表的就是我的速度矢量啊，它呢因为U箭头是个矢量，所以说它这里我们得到的还是一个矢量对吧？那三个方向上的分量分别对时间求偏导数，那反映的是这三个方向上的物理量随着时间的一个变化。那我的这个U啊点称bredient you是什么呢？呃，我们先看一下gradient，我们知道了啊这里U呢它是可适量。比如说我们还是以三维空间为例，它的分量是U V W啊，在三维空间中，那速度矢量的梯度在三维空间中呢是一个张量啊。那它的第一个元素是partial U over partial x第二个元partial U over partial Y U over part是Z然后呢第二行呢是partial v over partial x然后PaaS是v over PaaS呃Z。那最后一行就是partial W over partial x partial W over partial y和啊partial W over partial z这就是一个在三维情况下，它是一个3乘3的1个一个matrix，也叫做我们也叫做是一个张亮。那我们看速度啊，矢量点成一个张量，那得到的是什么呢？其实呢就是他最后得到的是一个矢量。那矢量的第一个分量呢就是我把呃我的速度矢量中的三个分量uv W分别与这个3乘3矩阵里边的第一行中的三个元素对应相乘，然后相加，然后最终得到的结果就是U乘上partial U over partial x加上V乘上partial U over partial y加上W partial U over partial z那同样这个矢量这是这个东西啊，这个U这这一部分是我的这个矢量的第一个元素。那第二个元素呢就是把速度中的速度分量跟第二行对应相乘相加。那得到的U V派X是Y然后加上W它是V它是Z那同理啊，第三个呢就是U partiw partial x加上v partial W partial y加上呃W partial W over partial z那这个呢就是一个失量。所以说呢呃那在三维空间中呢，这个我的因为我的压强P是一个是一个标量。那标量求梯度，在三维空间中其实就是对三个方向上分别求偏导数，那P是一个标量，那gradient的P就是一个矢量，而这个矢量的三个分量就是partial p over partial x partial p over partial y和partial p over partial z ok那这样一来呢呃我就可以得把方程一改写。我的方程一是一个本质上是一个失量方程，那我就可以把它写成三个方程，对吧？就是沿着X方向上的分量，那就是partiu over partit加上呃U partial U over partial x加上v partial U over partial y加上W partial U over partial z然后等于负的partial p over partial x然后加上拉plus U对吧？那第二个方向上的分量呢就是partial y方向上的分量的的速度方程呢就是partial v over partial t加上U partiv over partix加上v partial over partiy加上嗯W partial v over partial z然后同样这里是parp over partiy加上拉普拉V那第三个分量方程就是PaaS水W我怕水T加上U partial W over partial x加上V呃partial W over partial y加上W partial W over partial z然后等于负的partial p over partial z加上拉plus W那这样的话呢呃这个方程一呢跟我现在的这个三个分量方程的形式是等价的啊哇。这里落了一个一塔落了一塔。那我们所以说方程一或者说这三个方程呢，我们叫做它是动量守恒方程。那方程二呢？Divergence you我们刚才呃上一次说了这个这个东西呢一个倒三角它代表的是一个算子，对吧？在三维空间上呢这个是个矢量算子，它的三个分量呢就分别是这样子的那U呢在三维空间中呢是有UVW3个分量。那我相当于这就是构成了一个这个这个东西叫做divergence，就是求散度啊，那只有矢量才可以求散度，那求散度的结果其实就是把两个矢量进行点成对应分量相乘相加啊，然就得到的是parti是v over parti是y加上它是W over parti是z那因为我们的纳维斯托克方程呢要满足质量守恒。而质量守恒性呢对于单一流体来说呢，就会变成这个叫做呃divergence乘速呃，速度的divergence 等于0的这种形式，这个叫做divergence free啊，是不可压缩流体的一个呃一个特性啊。就这个叫做百。Divergence free condition啊，这个东西呢叫做不可压缩条件，也叫做无散度条件。Ok那我们看一下这个纳方的推导，拉维斯克方程的推导呢。我们要推导它呢，首先要我们从一个所谓的叫流体质点的概念开始，嗯，就是X方形，这个是Y方向，然后呢这个是Z方向。我们以三维空间为例。嗯，比如说我这里有一个。有一个Q B啊啊，我建立坐标系，就是沿着这个Q B的这个方向呢是X的正方向，那向里呢是Y的正方向，然后呢向上是Z的方向上的正方向。那我在这个我把这个q be单独拿出来。那其实呢这个cube呢，它本质上是一个什么呢？我们叫它是流体质点。因为就是在宏观的连续力学的角度上来说呢，我们研究的问题呢是不能呃说从啊从分子层面上。因为那样的话那就会呃就是因为分子层面上的东西，我们知道都是不连续的对吧？但是我们在这里假设我们的方程的函数都是沿着时间和空间在P定的角度下是连续的。啊，那流体质点的概念呢就是说它是一个在微观上啊足够大的一块区域，然后呢在宏观上呢它又足够小，至少我们肉眼看不到。那因此呢我宏观上的物体呢，我可以认为是我宏观上的流体。比如说像这样，我可以认为那这个箭头呢我们代表是一个一条河流啊它的流动方向，那在这个河流里边呢有好多这种流体的微团啊，我们这个这个流体的微团呢，我们有的时候也叫它流体质点啊。比如说是我们的其实看到肉眼看可看到的水是由无数个这样的流体微团组成的，但是这些流体微团内部是包含着大量的水分子的，也就是说它从分子层面上来说，它是足够大的一块区域。但是如果我们从宏观的水流上来说呢，它又是足够小的，也就是说是我们的这一体这些水流的最小的可分单位。那我们把它放大呢就是这样，就这一团小区域我们叫它是一个流体微团，那或者说叫流体质点。那我们因为它在宏观上足够想，那我们不妨就把它假设成哎，我们可以把它看成是一个方形的区域啊，在这个方形区域呢，我们假设中点的中心点的坐标是X Y Z那我这个这个前沿X方向上的两个面上的坐标呢，那我这个流体质点的啊这个长度叫低X宽度叫dy高度叫dz的话。那我沿着X方向上的正方向上这个面啊，这个面上它的坐标就应该是X加二分之D X Y Z对吧？那沿着X轴的负方向上，这个面的中点的坐标呢应该是X减去二分之D X Y Z那同样我的上下面啊，我这个上面沿着Z轴正方向上的这个面上的坐标呢，就应该是X Y Z加二分之D Z同理我底面上的坐标呢就是X Y Z减二分之D Z那我这里还有沿着Y方向上上的的前前一个面和后一个面对吧？那前一个面上的坐标呢我可以认为是嗯X Y加二分之D Y Z那后面因为我考虑这个这个沿着这个画面向里啊，这个方向是X轴的正呃是Y轴的正半轴。那外面的这个面呢这的坐标呢我就可以写成是呃，我写到这里吧，就是X Y减二分之D Y Z对。Ok那我看一下啊，如果说我这个时候我的速度啊嗯我都是定义在网格中心处的啊，不是叫网格，叫这个流体的质点的中心处啊，就在X Y Z处啊。那假设这里有个U有个V有个W啊，这三个三个速度分量都在这儿。那我这个面上的，比如说就是这这个面沿着X轴的方向上的这个面的中心和这个面中心的坐标处，我的速度可以用泰勒展开，对吧？就X加减二分之D X Y Z T就等于U X Y Z T加减partial U over partial X X Y Z T乘上二分之D X那我只要转到一阶就可以。那同样的V呢是X Y加减二分之D Y Z那we也也就是说我现在要沿着外轴的与外轴垂直的这两个面，也就是前呃这里面这个面和外面这个面啊。它们终点处的的速度啊就是为Y方向上的速度分量呢，我可以用中心点处的Y方向上的速度分量来进行泰勒展开。然后二分之D Y ok那同理我上面这个面和下面这个面，也就是与Z轴垂直的这两个面上的中心点处的的Z方向上的速度分量。我也可以用中心点处的速度来进行展开。二分之D Z O那有了这个之后呢，我们首先第一步要推导就是我们的diVerence free条件，也就是这个条件啊也就是这个条件。我们先假设我们的流体呃这个这个流体微团啊，就是这个流体微团它的呢呃呃呃因为我们考虑都是单一流体嘛，对吧？那所以说在这个区域内，在这个方形的q be内，我如果说做对密度做积分的话，D X D Y Z这个欧米伽在这里其实就是我整个流体围团代表欧米。呃，我对肉然后做积分其实反映的是我整个这个方形的流体微团里边我的总质量对吧？那我总质量对时间的导数，就是我的这个流体在这个小方块小方块内啊，我流体的质量的变化随时间的变化。我们这里有个假设，就是说因为我们的这个流体围团呢，就是这个流体围团呢，它跟周围可能他周围也有其他的流体围团啊，看到。那这个流体微我们现在考虑我们这个流这个流体微团，这是这个流体微团它的质量呢。其实水因为流体微团是我们虚构的一个概念，就是说以旁边的流体微团中有大量的水分子，这这旁边也有大量的水分子。那水分子跟水分子在不同的流体微团中是会互相流动的对吧？那所那但是呢我们要保证我们的这个流体微团的总质量不变的话，那其实就是说呃我们要让这个从旁边流入和流出的这个量要要均等是吧？那所以说我们先假设啊，我们的质量如果要随时间变化，它肯定是由啊我的速度啊，沿着我的这个面的通量方向，就是通量方向什么意思呢？就是说我的速度啊，因为速度三维空间中速度是个失量嘛。我这个速度失量与每一个面的外法方向上的点乘，那不就反映的是垂直这个面上的速度嘛。那也就是说我这里边的密度，我如果要流进来也要流或者说要流出去，肯定是沿着我的这个一个面的一个法方向这样流进来会流出，这是一个合理的假设。那也就是说如果说我这个微这个流体微团的质量如果要发随时间发生变化，它肯定是由啊我的这个密度，然后乘上速度，沿着每个面的外法方向上啊的这样的一个密度的流入和流出，导致才会有变化啊。在这里呢我这个partial欧米伽指的就是这些面这些这些流体微团的面表面。那我们看一下我们现在这个是对面啊是对这个每个流体围团的每个面然后上做的一个面积分啊。那因为我们的流体围团在宏观上是足够小的，所以说我可以其实写一个近似，就是说我先认为啊就是我的这个速度的变化在这里边呢是具是呃是在这个流体微团内部呢它的变化呢。所以空间来说呢，呃我可以认为它虽然说不是常数，但是我可以把它提到积分号外面，就是做一个近似嘛，对吧？那我就得到是U呃肉肉。那我首先看速度，我先假设中心点处的速度是U为W那在沿着X与X方向垂直的这这个面和这个面上，它的速度呢分别就是U加partial U over partial x 2分之1X对吧？那同样呢这个应该是U减去它是U over，它是X 2分之D X然后呢，我现在呢因为我假设它的这个呃速度在里边的变化很小。那这样的话呢我对我在一个面上的积分，我就可以把它简化成直接求这个面的面积，然后乘上这个函数值，对吧？那这2个DYDZ呢分别就是这个面和这个面的面积。那我为什么要相减呢？是因为比如说我这个地方我的流体是流入，那这个地方是呃这个地方是流出。那沿着流体沿这个地方流入，这个流出的方向跟边界的外法方向是同向的。但是这个流入的话呢，跟边界的外法方向是这个边的外法方向是这个方向嘛，对吧？是相反的。所以说我这里要有个减号。那同理啊我沿着这两个面上有流体的密度，随着速度的流入流出，那我在这个前面这个面和后面这个面，上面这个面和下面这个面上也有类似的。那我就看一下，那因为在比如说沿着前后两个面上，那速度矢量与呃边界的外法方向的，因为在这个时候的外法方向是要么朝外要么朝里嘛，对吧？那他们的点乘的结果呢就只剩下了沿着Y方向上的速度V所以说我的结果就变成了这样子。嗯，D Y啊呃ok啊sorry这个地方写错了，这个是dx ok那同样的我要乘上面面积减去，嗯，不是。Tc减去row。Tx z那上下面上的的质量的流入和流出呢，就是二分之D Z。是Z 2分之D Z然后呢D X D Y ok那我把这个整理一下就得到了。它等于柔乘上partial U over partial x加上partial v over partial y加上partial W over partial z啊，D X D Y D Z那我现在呢是要使得我的这个流体微团，就是这个这个方块它里边的质量不随时间变化，要满足质量守恒性的对吧？那不随时间变化，也就是说我的总质量随时间的导数要等于0，那也就是说我这一项要等于0，那这一项等于0，因为我的肉是一个密度，它我们知道任何的流体它的密度肯定不可能为零，对吧？而dx D D Z呢是三个反应距离的常数，所以说我最终得到的结果只能是里边是个微力，而这个东西呢其实就是我的速度矢量的散度。那这样的话呢我从质量守恒条件就推导出了我的无散度条件。那接下来呢我们看一下这个叫做就是要推这个方程。第一个方程或者说我们就是说要推导啊这三个方程，这个第三个方程叫做动量守恒方程，那我们看一下怎么推倒他们。