Description
给定一个 \(1\sim n\) 的排列 \(p\)。 你可以进行下列操作正好一次：
- 选定 \(p\) 的一个长度为 \(k\) 的子序列，并将其按照相同的顺序移动到 \(p\) 的最前面。
对于 \(k=0,1,\ldots,n\)，分别求出 \(p\) 在操作后的最小逆序对数。
\(1\leq n\leq 5\times 10^5\)。
Solution
考虑已经选定了 \(q_1,q_2,\ldots,q_k\) 表示操作的数，怎么表示逆序对的减少量。
首先如果 \(k=1\)，则减少量为 \(\displaystyle\sum_{j=1}^{i-1}{[p_j>p_i]}-\sum_{j=1}^{i-1}{[p_j<p_i]}\)，设其为 \(d_i\)。
则对于 \(k>1\) 的情况可以得到如下式子：
所以现在只需要最大化 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}d_{q_i}-2\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=i+1}^{k}{[p_{q_i}>p_{q_j}]}\) 了。
经过手玩会有一种感觉是如果存在 \(i<j\) 且 \(p_i>p_j\) 的话 \(j\) 对 \([1,i-1]\) 和 \([j+1,n]\) 的贡献都比 \(i\) 要优，而 \([i+1,j-1]\) 这部分二者是差不多的，所以可以猜测如果存在 \(j\) 满足 \(i<j,p_i>p_j\) 且 \(i\) 选了 \(j\) 没选就一定不优。
证明就考虑每次找到这样的 \((i,j)\) 中 \(j-i\) 最小的一对，可以发现 \([i+1,j-1]\) 中不能有取值在 \([p_j+1,p_i-1]\) 内的，否则不管选不选都能和 \(i\) 或者 \(j\) 构成更小的对。同样的，取值在 \([p_i+1,n]\) 都不能选，\([1,p_j-1]\) 都选了。
设 \([i+1,j-1]\) 取值在 \([1,p_j-1]\) 的有 \(cnt\) 个，那么式子里第二部分的增量至少为 \(-2\cdot(-cnt)=2\cdot cnt\)，同时 \(d_j\) 比 \(d_i\) 少算了至多 \([i+1,j-1]\) 之间的 \(cnt\) 个数，所以将 \(i\) 换成 \(j\) 的变化量至少为 \(2\cdot cnt-cnt=cnt\geq 0\)，这说明我们每次选择这样的 \((i,j)\) 调整一定不劣。
最后一定能调整成猜测的情况。
那么此时选的数 \(i\) 的贡献即为 \(\displaystyle c_i=d_i-2\sum_{j=i+1}^{n}{[p_i>p_j]}\)。
预处理出这个数组然后每次选择最大的 \(k\) 个选即可。
时间复杂度：\(O(n\log n)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>// #define int int64_tusing i64 = int64_t;const int kMaxN = 5e5 + 5;int n;
int a[kMaxN], b[kMaxN];struct BIT {int c[kMaxN];void clear() { std::fill_n(c + 1, n, 0); }void upd(int x, int v) {for (; x <= n; x += x & -x) c[x] += v;}int qry(int x) {int ret = 0;for (; x; x -= x & -x) ret += c[x];return ret;}
} bit;void dickdreamer() {std::cin >> n;for (int i = 1; i <= n; ++i) std::cin >> a[i];i64 ans = 0;bit.clear();for (int i = 1; i <= n; ++i) {int cnt = i - 1 - bit.qry(a[i]);ans += cnt, b[i] = cnt - (i - 1 - cnt);bit.upd(a[i], 1);}bit.clear();for (int i = n; i; --i) {b[i] -= 2 * bit.qry(a[i]);bit.upd(a[i], 1);}std::sort(b + 1, b + 1 + n, std::greater<>());std::cout << ans << ' ';for (int i = 1; i <= n; ++i) {ans -= b[i];std::cout << ans - 1ll * i * (i - 1) / 2 << ' ';}std::cout << '\n';
}int32_t main() {
#ifdef ORZXKRfreopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifstd::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);int T = 1;std::cin >> T;while (T--) dickdreamer();// std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";return 0;
}
