离散型分布
两点分布 （(0,1)分布）
\[P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1
\]
二项分布
\[X\sim B(n,p)
\]
\[P\{X=k\}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n
\]
几何分布
\[X\sim Ge(p)
\]
\[P\{X=k\}=pq^{k-1},k=1,2,...
\]
负二项分布（帕斯卡分布）
\[X\sim Nb(r,p)
\]
\[P\{X=k\}=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r},k=r,r+1,r+2,...
\]
泊松分布
\[X\sim \pi (\lambda)
\]
\[P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=1,2,...
\]
超几何分布
\[X\sim h(n,N,M)
\]
\[P\{X=k\}=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}},k=0,1,2,...,min\{n,M\}
\]
连续型分布
我们设 \(f(x)\) 为概率密度
均匀分布
\[X\sim U(a,b)
\]
\[f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac1{b-a}&a\le x \le b\\
0&其他
\end{matrix}\right.
\]
\[P\{c<X\le c+l\}=\frac{l}{b-a}
\]
指数分布
\[X\sim Exp(\alpha)
\]
\[f(x)=\left\{\begin{matrix}
\alpha e^{-\alpha x}&x\ge 0\\
0&x<0
\end{matrix}\right.
\]
\[P\{a<X\le b\}=\int_{a}^{b}\alpha e^{-\alpha x}dx
\]
正态分布
\[X\sim N(\mu,\sigma ^2)
\]
\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}},-\infty <x<\infty
\]
特别的，当 \(\mu=1,\sigma =0\) 时，称 \(N(0,1)\) 为标准正态分布，标准正态分布的概率密度函数为：
\[\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},-\infty <x<\infty
\]
相应的分布函数为：
\[\Phi (x)=\int_{-\infty }^{x} \varphi (t)dt= \int_{-\infty }^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt
\]
