4 月 1 日
我尽力，我无悔。
T1
对于那种只输入一两个数的题，首先不要去想正解，先猜半个小时结论看看猜不猜的出来。多半是猜的出来的
可是我写 T2 去了。
发现从 \(0\) 有 \(\frac{1}{n}\) 的概率一发入魂。而剩下 \(\frac{n - 1}{n}\) 的概率就是在 \([1,n - 1]\)。对于每个点都有 \(\frac{1}{n}\) 的概率赢，有 \(\frac{n - 2}{n}\) 的概率留在 \([1,n - 1]\)，那么对于每个 \(i \in [1,n - 1]\) 都是一样的。期望是 \(1 + \frac{(n - 1)^2}{n}\)。
T2
赛时想法：设 \(dp_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个点取值为 \(j\) 的方案数。显然有：\(dp_{i,j} = \sum\limits_{k = 1}^{a_i}dp_{i - 1,k} \times [k \neq j]\)。复杂度 \(O(nV^2)\)，可以通过全局和优化到 \(O(nV)\)，然后拿到 \(20\) 的好成绩。
我们发现这玩意可以简化成三个操作：区间取反，区间赋值，区间加。前面两个都是特化的区间乘。我们直接动开线段树，花了 2h 的时间获得的 \(60\) 的好成绩。
正解是这样的：正难则反。我们想要求恰好有 \(0\) 个非法点的情况数，我们就尝试求钦定有 \(i\) 个非法点的情况数 \(F(i)\)，然后反演一下得到最终的答案。
考虑如何求 \(F(i)\)。设 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数分 \(j\) 段的方案数。显然有 \(F(i) = dp_{i,n - i}\)。有显然的转移：\(dp_{i,j} = \sum\limits_{k = 1}^{i}dp_{k - 1,j - 1} \times \min\limits_{l = k}^{i}a_l\)。复杂度 \(O(n^3)\)，可以拿到 \(0\) 分的好成绩。
我们发现我们不关心 \(j\) 的值，只关心它的奇偶性。我们就可以每次转移都乘一个 \(-1\)，变成 \(dp_i = \sum\limits_{k = 1}^{i}-dp_{k - 1} \times \min\limits_{l = k}^{i}a_l\)。复杂度 \(O(n^2)\)，可以获得 \(60\) 的好成绩。
最后用单调栈优化到 \(O(n)\) 即可通过。
T3
我们发现如果对于一个可行的方案，每个数都异或一个 \(x\)，最终答案也可行。且总的异或和也异或了 \(y\)。所以我们不用考虑具体的方案，求出总方案数除以 \(2^k\) 就行。
考虑先填好第二行，方案数 \(2^k \times (2^k - 1) \times (2^k - 2) \times \cdots \times (2^k - n)\)，然后钦定第一行有 \(i\) 个与第二行冲突，方案数为 \((2^k - i) \times (2^k - i - 1) \times (2^k - i - 2) \times \cdots \times (2^k - n + 1)\)。直接反演得到恰好有 \(0\) 个与之冲突的方案数。
后日谈
今天就是纯纯的数学题综合训练。于是开始预习复习概率与期望。
我尽力，我无悔。
