【学习笔记】四边形不等式优化 DP

决策单调性

• 对于最优化问题 \(f_{i}=\min\limits_{j=1}^{i} \{ w_{j,i} \}\) 称 \(w(j,i)\) 为成本函数，参数为 \(i\) 的最优化问题称为问题 \(i\) ，记问题 \(i\) 对应的最小最优决策点为 \(opt(i)\) 。其中，我们假设成本函数 \(w(j,i)\) 可以 \(O(1)\) 计算。
• 决策单调性指对于任意 \(i_{1}<i_{2}\) 均有 \(opt(i_{1}) \le opt_{2}\) 。
• 最常见的判断决策单调性的方法是通过四边形不等式。

四边形不等式

• 在成本函数 \(w(x,y)\) 中，若对于任意 \(a \le b \le c \le d\) 均有 \(w(a,c)+w(b,d) \le w(a,d)+w(b,c)\) 则称函数 \(w(x,y)\) 满足四边形不等式，简记为“交叉小于包含”。若等号恒成立，又称函数 \(w(x,y)\) 满足四边形恒等式。
• 定理
  • 在满足四边形不等式的函数 \(w(x,y)\) 中，对于任意 \(a<b\) 均有 \(w(a,b)+w(a+1,b+1) \le w(a,b+1)+w(a+1,b)\) 。
    • 证明：用 \(a,a+1,b,b+1\) 代入定义中的 \(a,b,c,d\) 即可。
  • 若函数 \(w(x,y)\) 满足四边形不等式，则最优化问题 \(f_{i}=\min\limits_{j=1}^{i} \{ w_{j,i} \}\) 满足决策单调性。

一维线性 DP 的四边形不等式优化

二维区间 DP 的四边形不等式优化

例题

luogu P1912 [NOI2009] 诗人小G

luogu P1880 [NOI1995] 石子合并

luogu P3515 [POI2011] Lightning Conductor

• 多倍经验： SP9070 LIGHTIN - Lightning Conductor